4.4 Зв'язок диференціального рівняння з частотними характеристиками
Рішення диференціального рівняння (3.36, а) має вигляд
|
(4.14) |
де
– вимушений
рух, що описується часним рішенням;
– вільні
рухи, що описуються загальним рішенням
однорідного рівняння.
Для
встановлення зв'язку між АФХ і
диференціальним рівнянням розглядаються
вимушені рухи при вхідній гармонійній
дії вигляду:
яке
можна представити по формулі Ейлера
ірозглядати
як суму вхідних сигналів, тобто
В цьому випадку часне рішення диференціального рівняння через принцип суперпозиції також представляється у вигляді суми
|
|
де
і
визначаються
відповідно виглядом
і
.
У
зв'язку з цим рішення шукатимуться у
вигляді
|
|
де
,
– деякі
невідомі функції, не залежні від
що
підлягають визначенню.
Для
знаходження
диференціюється
раз,
а
−
раз
і підставляються в початкове диференціальне
рівняння, в результаті отримують
|
(4.15) |
Отриманий вираз (4.15) повністю співпадає з отриманим раніше виразом (4.8) для АФХ і ще раз підтверджує той факт, що амплітудно-фазова характеристика може бути отримана простій заміною змінною на .
Функція
виходить аналогічним чином по формулі
(4.15) заміною
на
.
Записуючи отримані вирази для комплексних
функцій
і
у показовій формі
|
|
часне вирішення рівняння (4.7) перетвориться до вигляду
|
|
Порівняння
що
описує сталі коливання на виході об'єкту,
з вхідним сигналом
показує, що
відношення амплітуд вихідних і вхідних
коливань дорівнює
,
а
це якраз і є амплітудно-частотна
характеристика; різниця фаз
−
фазочастотна
характеристика.
Із
зміною частоти коливань амплітудно-
і фазочастотні
характеристики змінюються по певному
закону залежно від фізичних властивостей
об'єкту. Проте всі реальні фізичні
системи володіють однією загальною
властивістю, яка полягає в тому, що при
збільшенні частоти вхідних коливань
вище деякої межі (частоти зрізу)
об'єкт практично не реагує на ці коливання,
тобто амплітуда вихідних коливань
дорівнює нулю. Таким чином, для будь-якого
реального об'єкту
4.5 Фізичний сенс частотних характеристик
Фізичний сенс частотних характеристик встановлюється при їх експериментальному визначенні.
Нехай
на вхід лінійного об'єкту подається
гармонійний сигнал вигляду
.
На виході об'єкту в сталому режимі
(власний рух припинився) через принцип
суперпозиції спостерігатиметься також
гармонійний сигнал з частотою, рівною
частоті вхідних коливань, зрушений
відносно них по фазі і іншої амплітуди
(рис. 4.8), тобто
|
|
Рис. 4.8 Експериментальне визначення частотних характеристик: а
– об’єкт;
б – вхідний
сигнал частоти
г – вихідний сигнал частоти ; д – вихідний сигнал частоти . |
;
в –
вхідний
сигнал частоти
;
Ступінь відмінності між параметрами вхідних і вихідних гармонійних сигналів не залежить від амплітуди і фази вхідного сигналу, а визначається тільки динамічними властивостями самого об'єкту і частотою коливань, тому як динамічні характеристики об'єкту тут і використовуються розглянуті вище частотні характеристики. Для отримання останніх експериментальним шляхом проводиться ряд дослідів, для яких використовується апаратура у складі генератора гармонійних коливань з регульованою частотою і пристрою для вимірювання амплітуди і фази коливань.
В результаті проведених експериментів частотні характеристики визначаються таким чином.
Амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) – відношення амплітуди вихідних коливань до амплітуди вхідного сигналу:
|
(4.16) |
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) – різниця фаз вихідних і вхідних коливань:
|
(4.17) |
або
|
|
де
−
час
зрушення.
Таким чином, амплітудно-фазова характеристика (АФХ) може бути визначена як комплексна функція, для якої АЧХ є модулем, а ФЧХ – аргументом. Останні співвідношення якраз і визначають фізичний сенс частотних характеристик.
Маючи в своєму розпорядженні амплітудно-фазову характеристику, зняту експериментально і вхідний сигнал, можна записати вихідний сигнал.