6.8.4 Застосування критеріїв для дослідження стійкості систем

Порівняння розглянутих критеріїв стійкості дозволяє зробити наступний вивід щодо їх застосовності.

Критерій стійкості Гурвіця доцільно застосовувати, коли характеристичне рівняння має ступінь не вище чотирьох .

Рис. 6.35 Годограф Міхайлова для стійких систем 3-го порядку

Критерій стійкості Раусу дає швидку відповідь при чисельно заданих коефіцієнтах, їм доцільно користуватися, коли .

Критерій стійкості Міхайлова доцільно застосовувати при дослідженні складних багатоконтурних систем, коли необхідно з'ясувати вплив зміни структури системи і засобів стабілізації на її стійкість.

Критерій стійкості Найквіста доцільно застосовувати при дослідженні складних систем.

Цей критерій виявляється єдино застосовним, коли частина або всі характеристики окремих елементів системи задані експериментально, застосовний при аналізі систем, що описуються аналітичними функціями.

Крім свого прямого призначення частотні критерії стійкості можуть бути використані для оцінки впливів параметрів системи на її стійкість.

На рис. 6.33зображений годограф Міхайлова для стійкої системи. Відрізок ОМ₀рівний значенню вектора (6.35) при і рівний значенню коефіцієнта характеристичного рівняння.

Можна показати, що коефіцієнт підсилення системи впливає тільки на вільний член характеристичного рівняння. Тому при його збільшенні збільшуватиметься тільки коефіцієнт і в цьому випадку всі вектори отримують однаковий додатний дійсний приріст, і вся крива Міхайлова без деформації пересувається направо, наприклад, з положення 1 в положення 2 (рис. 6.33). Якщо збільшувати коефіцієнт підсилення і далі, то при деякому його граничному значенні годограф Міхайлова пройде через початок координат, і система вийде на межу стійкості. Подальше збільшення коефіцієнта підсилення зробить систему нестійкої.

Тут можливо і зворотне рішення задачі, а саме, знаходження граничного коефіцієнта підсилення. Відрізок (рис. 6.33) відповідає граничному значенню коефіцієнта значення якого можна відлічити і по первинному положенню кривої Міхайлова – відрізок .

Оцінити вплив параметрів системи на її стійкість, можна і користуючись критерієм Найквіста. Як приклад нижче розглянута система третього порядку з трьома інерційними ланками (рис. 6.34), у якій

Рис. 6.34 Структурна схема системи з трьома ланками

Амплітудно-фазові характеристики розімкненої системи для різних значень коефіцієнта підсилення зображені на рис. 6.35, а.

Рис. 6.35 АФХ статичної системи третього порядку: а – для різних коефіцієнтів посилення; б – викреслювання зворотних змін одиниці масштабу

Всі ці характеристики можуть бути отримані з "первинної" шляхом зміни масштабу, причому зручніше не викреслювати характеристику з новим масштабом, а змінювати масштаб зворотною зміною одиниці масштабу. В цьому випадку досить викреслювати одну АФХ раз і назавжди і зменшувати розмір відрізання OА, рівного одиниці, в стільки ж раз, в скільки збільшується коефіцієнт підсилення. При цьому точка А переміщатиметься управо (рис. 6.35, б). При малому значенні коефіцієнта підсиленняkсистеми масштаб одиниці ОА великий, і точка А знаходиться в положенніА₁. В цьому випадку АФХ розімкненої системи не охоплює точку А₁, і, отже, замкнута система стійка. При збільшенні коефіцієнта підсиленняk масштаб одиниці зменшується, критична точка рухається направо і при займає положення A₂, система знаходиться на межі стійкості.

При критична точка продовжує переміщатися направо, займає положення А3, і система стає нестійкою.

Вплив коефіцієнта підсилення на стійкість, використовуючи критерій Найквіста, можна прослідкувати і для систем високого порядку, зокрема, з "дзьобоподібними" характеристиками (рис. 6.36, а).

В цьому випадку при малому значенні коефіцієнта підсилення критична точка знаходиться в положенніА₁, і замкнута система стійка. Збільшення коефіцієнта підсилення пересуває точку в положення А₂, , і система виходить на межу стійкості. Подальше збільшення коефіцієнта підсилення приводить систему до нестійкості, оскільки критична точка займає положенняА₃і охоплюється АФХ. Положення А₄, у якому є межею стійкості, а положенняА₅критичної точки є стійким, оскільки не охоплюється АФХ. Таким чином, можна зробити наступний вивід.

Система стійка при малих значеннях коефіцієнта підсилення і при достатньо великих має дві межі стійкості при і нестійка при

Аналіз амплітудно-фазової характеристики розімкненої системи, зображеної на рис. 6.36, б, показує, що система має три граничні значення коефіцієнта підсилення А₂, А₄, А₆і межі стійкості. При значеннях коефіцієнта підсилення (точки А₁, А₅), а при значеннях система нестійка (точка А₃, А₇).

Рис. 6.36 АФХ системи високого порядку: а – "дзьобоподібна" АФХ першого порядку; б – "дзьобоподібна" АФХ другого порядку

Рис. 6.37 АФХ простих систем: а – АФХ систем першого порядку; б – АФХ систем другого порядку

Застосування критерію Найквіста до дослідження простіших систем- систем першого і другого порядку показує, що якщо розімкнена система є системою першого порядку без запізнювання, то як би не змінювалися параметри системи, АФХ розімкненої системи завжди розташовуватиметься в четвертому квадранті (рис. 6.37, а) і, отже, замкнута система завжди буде стійкою.

Для розімкнених систем другого порядку АФХ розташовується в нижній напівплощині і, отже, як би не змінювалися її параметри, АФХ ніколи не охоплює точку і досліджувана замкнута система завжди буде стійкою.

Також за допомогою критеріїв стійкості Міхайлова і Найквіста можуть бути вирішені питання стабілізації системи. Зокрема, одним із способів стабілізації є введення гнучкого від’ємного зв'язку.