1. Нормальний розподіл

Алгоритм 1: Визначення із рівняння

Алгоритм 2: Визначення за формулою

2. Рівномірний розподіл

3. Дискретний розподіл

Коментар. Оптимальний обсяг замовлення запчастин для нормального розподілу попиту дорівнює комплекти, для рівномірного розподілу – комплекти. Математичні сподівання витрат відповідно дорівнюють грош. од. і грош. од. Для дискретного розподілу попиту ці показники відповідно дорівнюють комплектів, грош. од. ▲

3.3.2. Рівномірний попит при відсутності витрат на оформлення замовлень

У даній моделі, як показано на рис. 3.5, попит протягом періоду змінюється не миттєво, а рівномірно. При умові, що неперервна змінна, сумарні очікувані витрати у цій моделі визначаються співвідношенням

(3.28)

де с₁ – вартість закупівлі (або виробництва) одиниці продукції;

с₂ – питомі витрати на зберігання продукції протягом періоду;

c₃ – питомі втрати від дефіциту продукції.

Прирівнюючи першу похідну нулю, одержуємо

(3.29)

Перетворюючи цей вираз, одержуємо співвідношення для визначення

. (3.30)

Y (t) Y(t)

a) b)

Рис. 3.5. а) Середній запас , середній дефіцит запасу .

b)Середній запас середній дефіцит запасу

Приклад 3.9. Розглянемо попередній приклад, коли попит задовольняється не миттєво, а рівномірно протягом періоду. Розподіл попиту – рівномірний із щільністю , Показники витрат: Середній попит одиниць.

Алгоритм у Mathcad

Коментар. Оптимальний обсяг замовлення у даній моделі дорівнює комплектів, мінімальні витрати дорівнюють грн.

Слід відмітити відміну цього результату від результату, одержаного для моделі з миттєвим попитом. ▲

3.3.3. Миттєвий попит при наявності витрат на оформлення замовлень

Розглянемо модель, у якій враховуються витрати на оформлення замовлення . Нехай M{C1(q)} – сумарні очікувані витрати у системі, включаючи витрати на оформлення замовлення. Тоді математичне сподівання цих витрат дорівнює

(3.31)

де – функція витрат, визначена у попередній моделі (без врахування витрат на оформлення замовлення).

Як показано у моделі 1, мінімальне значення має місце при значенні , яке задовольняє умові

(3.32)

де щільність збитків.

Оскільки є константою, то мінімальне значення також повинно мати місце при значенні . Криві і наведені на де введені нові позначення s і S, які використовуються у подальшому.

Значення S дорівнює , значення s (s < S) дорівнює нижньому рівню запасів і визначається із рівняння

. (3.33)

Тепер задачу можна сформулювати наступним чином: визначити кількість продукції q, яку слід замовляти, якщо перед розміщенням замовлення є z одиниць запасу і нижній рівень запасу дорівнює s.

Задача розв’язується при трьох умовах:

1) z < s;

2)

3) z > S.

Випадок 1: Оскільки у наявності вже є одиниць продукції, то витрати зберігання запасу складають . Якщо замовляти будь-яку додаткову кількість продукції то відповідні витрати при заданому q складуть , включаючи витрати на оформлення замовлення. Із випливає, що при будь-якому

(3.34)

Таким чином, оптимальний рівень запасу повинен досягати і розмір замовлення повинен бути рівним .

Рис. 3.6. Графіки функцій

Випадок 2: Як і раніше, із рис. 3.6 випливає, що

. (3.35)

Тому у даному випадку при умові, що нове замовлення не подається, додаткових витрат не виникає. Отже,

Випадок 3: z > S. Із рис. 3.5 випливає, що

. (3.36)

Це знову показує, що якщо замовлення не подається, то витрати тільки знизяться і

Ця стратегія, яка називається -стратегією, визначається правилом

якщо замовляти

якщо замовляти не потрібно.

Оптимальність -стратегії випливає із того, що функція витрат вгнута. У загальному випадку, коли ця властивість не виконується, -стратегія перестає бути оптимальною.

Приклад 3.10. Щоденний попит на продукцію протягом одного періоду задовольняється миттєво на початку періоду. Попит є випадковою величиною, рівномірно розподіленою на інтервалі від 280 до 320 одиниць. Вартість одиниці продукції дорівнює 40 грн., вартість подачі замовлення 25 грн. Вартість зберігання одиниці продукції протягом періоду дорівнює 10 грн., а штраф за дефіцит одиниці продукції – 75 грн. Початковий запас дорівнює 10 одиницям. Визначимо оптимальну стратегію замовлення продукції – оптимальний обсяг замовлення і нижній рівень запасу .

Спочатку визначаємо оптимальній рівень запасу Потім знаходимо величину s і визначаємо стратегію управління запасами.

Алгоритм реалізації моделі

 задаємо початкові значення і ;

 записуємо формулу для щільності рівномірного розподілу f(x);

 визначаємо критичне відношення

 записуємо вираз для математичного сподівання витрат , тис. грн.;

 записуємо рівняння . Розв’язуючи це рівняння за допомогою функції Mathcad root(Q(q),q), визначаємо оптимальний рівень запасу ;

 визначаємо мінімальне значення функції витрат ;

 записуємо рівняння для знаходження величини . Розв’язуючи це рівняння за допомогою функції root(M(s), s), одержуємо значення s, яке визначає політику управління запасами.

Алгоритм у Mathcad

Рівняння для визначення

_{Точка мінімуму функції MC1(q)}

Значення S

_{Мінімальне значення функції MC1(q)}

Рівняння для визначення s

Визначення s (квадратне рівняння M(s) має два корені)

Розв’язком квадратного рівняння M(s) = 0 є значення і . Значення , яке перевищує , треба відкинути. Оскільки значення менше (випадок перший – z < s), то оптимальний рівень запасу повинен досягати і розмір замовлення повинен дорівнювати одиниць.

Коментар. Оптимальною стратегією є подача замовлення в обсязі одиниць. оптимальний рівень запасу повинен досягати ▲