3.6. Модель системи управління запасами при додатковому їх поповненні

Розглянемо модель цієї задачі на прикладі визначення оптимальної кількості автомобілів транспортної фірми при випадковій кількості резервних автомобілів і випадковому їх попиті. За критерій оптимальності приймемо математичне сподівання прибутку підприємства. Припустимо, що експлуатація одного автомобіля в одиницю часу характеризується такими показниками:

прибуток від експлуатації одного автомобіля;

витрати на утримання одного автомобіля, який належить автопід-приємству;

збитки від простою одного автомобіля, який належить підприємству;

витрати на використання орендованого автомобіля;

Е – можливі втрати прибутку, пов’язані з недостачею автомобілів при наявності попиту.

Показники Р, B, C, D можуть бути розраховані за відповідними методиками. Величина Е має гіпотетичний характер і у залежності від конкретного змісту задачі може варіюватись у значних межах.

Введемо позначення:

n – кількість власних автомобілів на підприємстві;

X – дискретна випадкова величина, яка характеризує попит на транспортні послуги, виражений у необхідній кількості автомобілів;

Y – дискретна випадкова величина, яка характеризує пропозицію додаткових автомобілів, які може мати підприємство (власних неспеціалізованих автомобілів або орендованих).

Для розв’язання задачі необхідно знати закони розподілу ймовірностей випадкових величин X і Y. Позначимо через імовірність попиту на i автомобілів, а через імовірність пропозиції k автомобілів. Величини (i, p_i) характеризують закон розподілу ймовірностей попиту на автомобілі, (k, q_k) – розподіл імовірностей пропозиції додаткових автомобілів. Ці розподіли можуть визначатись у вигляді дискретних рядів розподілу за статистичними даними, або у вигляді розподілу Пуассона, який теж визначається за статистичними даними.

Припустимо, що підприємство має у своєму розпорядженні n основних автомобілів. Тоді множину значень Х і Y можна розбити на три області:

 попит на автомобілі Х менше ніж кількість основних автомобілів і має місце втрата прибутку від невикористання автомобілів;

 попит на автомобілі Х перевищує кількість основних автомобілів але є достатня кількість пропозицій додаткових автомобілів і підприємство має можливість одержати певний прибуток від їх використання;

 кількість основних і додаткових автомобілів n i Y недостатня для задоволення попиту і має місце втрачений прибуток від нестачі автомобілів.

Визначимо середній валовий прибуток підприємства в одиницю часу, який є різницею між прибутком за рахунок реалізації послуг та витратами з урахуванням можливої втрати прибутку від нестачі автомобілів. Він дорівнює математичному сподіванню функції f(n,X,Y), аргументами якої є детермінована величина n і випадкові величини X i Y

(3.48)

Усереднюючи цей вираз по розподілам ймовірностей величин X і Y, одержимо математичне сподівання функції f(n,X,Y)

При фіксованих значеннях n функція F(n) є опуклою уверх по n і має єдиний максимум. Задача формулюється так: знайти значення при якому функція прибутку F(n) приймає максимальне значення

(3.50)

Оскільки F(n) є функція дискретного аргументу, то для знаходження її екстремуму не можна застосувати класичний метод, прирівнюючи до нуля її похідну. Тому знаходження екстремуму здійснюється за перебірним алгоритмом, послідовно обчислюючи значення F(n) для доки не буде знайдена точка екстремуму

Приклад 3.16. Проектується транспортна фірма, яка в залежності від попиту на перевезення повинна мати певну кількість автомобілів, яка б забезпечила одержання максимального прибутку. Припустимо, що показники прибутку і витрат на один автомобіль мають такі значення: Р=1500, B=200, C=150, D=1000, E=800 доларів.

Попит на транспортні послуги за період t, виражений у необхідній кількості автомобілів, розподілений за законом Пуассона з параметром λ. Припускається, що у разі нестачі спеціалізованих автомобілів, фірма може тимчасово залучати деяку додаткову кількість автомобілів інших підприємств. Пропозиція додаткових автомобілів (власних або орендованих) також розподілена за законом Пуассона з параметром

Виходячи з економічних інтересів фірми, треба визначити оптимальну кількість автомобілів, яка б забезпечила максимальний прибуток.

Оскільки розподіли ймовірностей попиту і пропозиції автомобілів задані у вигляді розподілів Пуассона, які залежать від параметрів λ і μ відповідно, то спочатку визначаємо ці параметри. Визначення параметрів здійснюється на основі статистичних даних за відомою методикою. Далі одержуємо ряди розподілів попиту і пропозиції. Ці розподіли у Mathcad визначаються функцією dpois() у вигляді: де верхні границі індексів та У результаті чого одержуємо ряди (вектори) розподілу попиту , і пропозиції додаткових автомобілів

Алгоритм реалізації моделі

 задаємо значення вартісних показників цільової функції Р, B, C, D, E;

 задаємо одиницю часу, наприклад, добу, неділю тощо і визначаємо розподіли ймовірностей попиту і пропозиції автомобілів. Розмірність масиву розподілу попиту позначаємо через покладаючи

 записуємо вирази для середнього значення кількості власних автомобілів які використовуються, кількості додаткових , кількості невикористовуваних і кількості недостатніх автомобілів і записуємо вираз для цільової функції

для визначення максимального значення функції F(n) за функцією Mathcad max(F), представляємо значення функції F(n) у вигляді вектора

 знаходимо максимальний елемент масиву F, використовуючи функцію max() у вигляді і визначаємо значення , для якого елемент масиву F має максимальне значення. Для знаходження оптимального значення у Mathcad застосовуємо вираз

де – булевий вираз із значенням 1, якщо умова виконується, і 0, якщо умова не виконується;

 записуємо вирази для функції прибутку і функції витрат і будуємо графіки функцій

 визначаємо операційні характеристики системи для оптимального плану, а також імовірності станів системи.

Алгоритм у Mathcad

Значення вартісних показників

Параметри розподілів попиту і масиви значень цих розподілів

Коефіцієнти цільової функції

Цільова функція F(n)

Максимум цільової функції F(n) – максимальний доход фірми

_{Оптимальне значення кількості автомобілів}

Функція прибутку

Функція витрат

Значення цільової функції F, прибутку і витрат

Одержана оптимальна кількість автомобілів n₀ дає можливість визначити також операційні характеристики системи для оптимального плану.

 кількість зайнятих автомобілів

 кількість допоміжних автомобілів

 кількість невикористаних власних автомобілів

 кількість недостатніх автомобілів (дефіцит)

Імовірності станів системи:

 використовуються основні автомобілі

 використовуються допоміжні автомобілі

 основних і допоміжних автомобілів недостатньо (дефіцит)

Графік цільової функції і її складових для n := 4 . . 20

Рис. 3.7. Графік цільової функції F_n і її складових і

Коментар. Одержані результати розрахунків показують, що при пуассонівських розподілах попиту і пропозиції додаткових автомобілів із середніми значеннями і , оптимальна кількість постійних автомобілів буде дорівнювати n₀=12. При цьому середня кількість зайнятих автомобілів дорівнюватиме одиниць, середня кількість допоміжних – середня кількість незайнятих власних , середня кількість дефіциту автомобілів – Імовірності цих станів відповідно дорівнюють

Як видно із таблиці значень функції , величина прибутку для кількості автомобілів стає незмінною. Це є наслідком того, що при цих значеннях n попит на автомобілі повністю задовольняється, в результаті чого зайві автомобілі не дають прибутку. Витрати ж на їх утримання постійно зростають. ▲