3.3. Моделі управління запасами в одному періоді

Моделі систем управління запасами в одному періоді (одноетапні моделі) відображають ситуацію, коли для задоволення попиту протягом певного періоду часу продукція замовляється тільки один раз. На практиці такі задачі виникають при постачанні запасних частин або продуктів, що швидко псуються, товарів, які швидко виходять із моди, а також сезонних товарів. Наприклад, марка автомобіля застаріває і, отже, замовлення на деталі не поновлюються. Одноетапні моделі досліджуються при різних припущеннях, у тому числі при миттєвому і рівномірному попиті з урахуванням і без урахування витрат на оформлення замовлень. Припускається, що поповнення запасу здійснюється миттєво на початку періоду.

Модель визначає оптимальний рівень запасу при умові мінімізації очікуваних витрат на управління запасами, які включають витрати на розміщення замовлення (витрати на закупівлю або виробництво), витрати на зберігання і втрати від дефіциту. У зв’язку із імовірнісним характером попиту витрати на закупівлю продукції, хоча і є постійними, є суттєвим фактором у загальній функції витрат. При відомому оптимальному значенні q = q₀ оптимальне управління запасами полягає у подачі замовленняобсягом якщо у протилежному випадку замовлення не подається.

3.3.1. Миттєвий попит при відсутності витрат на оформлення замовлень

В моделях із миттєвим попитом припускається, що сумарний попит задовольняється на початку періоду безпосередньо після одержання замовлення.

Введемо позначення:

q –обсяг замовлення;

z – запас на момент замовлення;

Х – величина випадкового попиту протягом періоду;

, – розподіл ймовірностей дискретного попиту

f(x) – щільність імовірності неперервного попиту

с₁ – вартість закупівлі (або виробництва) одиниці продукції;

с₂ – питомі витрати на зберігання продукції протягом періоду;

c₃ – питомі втрати від дефіциту продукції.

Неперервна модель

Припустимо, що попит Х є неперервна випадкова величина із щільністю імовірності В залежності від замовленої кількості товару q після моменту виникнення попиту, запас зразу може опинитись або додатним (надлишки), або від’ємним (дефіцит). Обидва ці випадки ілюструє рисунок 3.4.

Y(t) Y(t)

а) b)

Рис. 3.4

Із рисунка випливає, що після поставки замовлення обсягу q одиниць, рівень запасу визначається співвідношеннями

Рівень дефіциту визначається наступним чином

Нехай рівень запасу до моменту розміщення замовлення. Визначимо щільність імовірності попиту і нехай витрати на закупівлю продукції, витрати на зберігання продукції і втрати від дефіциту (на одиницю продукції за період). У припущенні, що величина q неперервна, а витрати на оформлення замовлення відсутні, очікувані витрати за період визначаються співвідношенням

(3.23)

де М – символ математичного сподівання.

Функція є опуклою і, таким чином, має єдиний мінімум. Відповідна точка мінімуму знаходиться із рівняння

.

Оскільки

із наведеного вище рівняння одержуємо формулу для визначення оптимального розміру поставки

(3.24)

Права частина останньої формули відома під назвою критичного значення. Значення визначено тільки при умові, що критичне відношення невід’ємне, тобто Якщо ж то це можна інтерпретувати як повну непридатність системи управління запасами, оскільки припускає, що вартість закупівлі одиниці продукції вище втрат від незадоволеного попиту.

Оптимальна стратегія при заданому значенні рівня запасу z до подачі замовлення визначається наступним чином:

Ця стратегія також відноситься до класу стратегій з єдиною критичною точкою, оскільки вгнута функція.

Дискретна модель

Припустимо, що попит Х є дискретна випадкова величина з розподілом ймовірностей

Функція витрат у цьому випадку визначається формулою

(3.25)

У дискретному випадку необхідні умови мінімуму визначаються співвідношеннями

.

Визначимо

Отже,

або

Аналогічним чином можна показати, що із умови випливає

Тому значення повинно задовольняти нерівності

(3.26)

де – функція розподілу попиту, щільність збитків.

Для чисельної реалізації даної моделі розподіл імовірностей попиту і відповідну функцію витрат зручно представити у вигляді і MC(k). Тоді нерівність для визначення оптимального значення буде мати вигляд

(3.27)

Із цих нерівностей одержуємо:

Як у неперервній так і в дискретній моделі функції і вгнуті, тому існують єдині , і відповідно , для яких виконується умови (3.19) і (3.20) і які є точками мінімуму відповідних функцій (у дискретній моделі ).

Приклад 3.8. Автотранспортна фірма закуповує імпортні автомобілі і комплекти запасних частин до них. Протягом терміну експлуатації автомобілів деталі зберігаються на складі фірми і витрачаються у відповідності з попитом на них. Нестача запасних деталей у разі їх потреби призводить до певних збитків у наслідок простоїв автомобілів і невиконання перевезень. Витрати на закупівлю одного комплекту деталей дорівнюють 4 грош. од., середні витрати на його зберігання на складі протягом періоду – 2 грош. од., втрати від дефіциту у наслідок простою автомобілів дорівнюють 50 грош. од.

Визначимо, скільки комплектів запчастин повинна закуповувати автотранспортна фірма, якщо попит за період (наприклад, 10 років) описується одним із наступних імовірнісних розподілів:

1. Нормальним розподілом з математичним сподіванням a = 300 комплектів і стандартним відхилення 25 комплектів.

2. Рівномірним розподілом із щільністю ймовірності f(x) = 1/(b–a), де границі розподілу кількості комплектів, і з математичним сподіванням комплектів.

3. Дискретним розподілом , заданим у вигляді таблиці

k	240	260	280	300	320	340
	0.05	0.05	0.10	0.10	0.40	0.30	1

Оскільки комплекти запчастин закуповуються одночасно із придбанням автомобілів на початку розглядуваного періоду, то для визначення оптимальної стратегії управління запасами запчастин застосовна описана вище модель.

Вхідні дані моделі: витрати на придбання запчастин грош. од. за комплект, витрати на зберігання одного комплекту – 2 грош. од., втрати від дефіциту одного комплекту запчастин – 50 грош. од.

Алгоритм реалізації моделей

 задаємо початкові значення показників витрат і запасу

 визначаємо критичне відношення і записуємо функцію щільності нормального розподілу

 для дискретних розподілів попиту задаємо ряд розподілу для неперервних розподілів – щільність імовірностей f(x);

 записуємо вирази для функцій очікуваних витрат – цільових функцій задачі MC(q) і Для дискретного розподілу ці функції визначаються за формулою (3.17), для нормального і рівномірного розподілів – за формулою (3.15).

Оскільки у дискретній моделі розподіл імовірностей заданий у вигляді ряду розподілу то відповідну функцію витрат MC(k) представляємо як функцію від k;

 визначаємо функцію розподілу попиту F(x). Для дискретного розподілу функцію розподілу визначаємо у вигляді Для нормального розподілу F(x) визначається за оператором Mathcad де параметри розподілу. Для рівномірного – за оператором , де a і b – границі інтервалу рівномірного розподілу;

 записуємо рівняння і знаходимо оптимальне значення обсягу поповнення запасу Розв’язання рівняння одержуємо за допомогою функції Mathcad .

Для нормального розподілу попиту можна застосувати також і наступний алгоритм визначення Для заданого значення ймовірності визначаємо квантиль t зворотного нормованого нормального розподілу з параметрами за оператором Mathcad Потім визначаємо значення .

Для дискретного розподілу оптимальне значення знаходиться безпосередньо за формулою (3.19), використовуючи функцію Mathcad . При виконання умови (3.19) результатом функції є значення у всіх інших випадках – значення 0.

 визначаємо мінімальне значення функції витрат .

Алгоритм у Mathcad