3.1.2. Модель системи з дефіцитом з фіксованим рівнем ризику

Для моделі з імовірнісним попитом введемо в розгляд новий показник управління запасами – рівень обслуговування

де потрібна кількість одиниць товару за час поставки недостатня кількість одиниць товару. Очевидно, що якщо дефіцит відсутній, то у протилежному випадку

Недостатня кількість одиниць товару визначається наступним чином. Імовірність дефіциту дорівнює ймовірності того, що попит за час поставки перевищить рівень замовлення Отже, якщо – імовірність дефіциту, то

Математичне сподівання числа недостатніх одиниць товару визначається як

Для обчислення попередньо зробимо наступне перетворення

,

де , і визначимо ймовірність того, що попит перевищить величину , яка відповідає заданому рівню ризику дефіциту . У випадку нормального розподілу маємо

У середньому число недостатніх одиниць товару дорівнює

Позначимо через і попередній вираз перепишеться у вигляді

Вираз для можна представити у вигляді

(3.3)

де коефіцієнт дефіциту. Тоді рівень обслуговування дорівнює

(3.4)

де коефіцієнт варіації.

Нехай втрати на одиницю дефіциту запасу. Допускаючи, що має місце заборгованість попиту при настанні дефіциту, витрати на поповнення і зберігання запасів і втрати у наслідок дефіциту за весь період дорівнюють

,

де кількість циклів поставок поповнення запасів.

Загальні витрати для моделі з дефіцитом дорівнюють

(3.5)

.

Прирівнюючи до нуля похідну від функції по для визначення оптимального значення що мінімізує загальні витрати системи на поповнення і зберігання запасів і втрати у наслідок дефіциту запасу, одержуємо рівняння, з якого знаходимо

(3.6)

Далі визначаємо ефективний час затримки поставки і величини які залежать від

Мінімальні загальні витрати дорівнюють

.

Алгоритм у Mathcad

_{Початкові дані моделі}

Коментар. Оптимальна політика управління запасами за даною моделлю має такі параметри: розмір партії поповнення запасів одиниць,обсяг резервного запасу одиниці, точка замовлення поповнення запасу одиниці. Мінімальне значення функції витрат на управління запасами з урахуванням витрат на зберігання резервного запасу дорівнює грош. од. Рівень обслуговування складає

Зауважимо, що у даній моделі розмір замовлення такий же, як і у моделі без дефіциту. ▲

3.1.3. Модель системи з дефіцитом з оптимальним рівнем ризику дефіциту

У даній моделі припускається, що рівень ризику невідомий і задача полягає у одночасному визначенні оптимального обЄЄєму поповнення запасу і відповідного рівня ризику . З обчислювальної точку зору зручно спочатку розглядати залежність відповідних величин не безпосередньо від , а від відповідного квантиля розподілу попиту , де .

Витрати на поповнення і зберігання запасів і втрати у наслідок дефіциту за період T дорівнюють

,

де кількість циклів поставок поповнення запасів.

Загальні витрати визначаються сумою вказаних складових:

(3.7)

.

Знаходимо частинні похідні, що зв’язують параметри

Прирівнюючи перший вираз до нуля, маємо рівняння

Знайдемо похідну .

.

Похідні від і дорівнюють

Таким чином маємо

Звідсіль маємо друге рівняння

Таким чином, для визначення оптимальних значень і , що мінімізують загальні витрати системи на поповнення і зберігання запасів і втрати у наслідок дефіциту запасу, одержуємо систему рівнянь

(3.8)

Розв’язати систему рівнянь (3.8) можна за допомогою метода послідовних наближень, а також за допомогою функцій Mathcad розв’язання систем нелінійних рівнянь або

Зауважимо, що із другого рівняння (3.8) випливає, що втрати на одиницю дефіциту повинні задовольняти умові

Ми знаходимо при умові, що має місце заборгованість попиту при настанні дефіциту. Якщо ж є часткова заборгованість і деяка частка від дефіциту не знаходить миттєвого збуту, то вираз для загальних витрат перепишеться у вигляді

(3.9)

Алгоритм у Mathcad

_{Початкові дані моделі}

Позначаючи через далі записуємо

Коментар. Оптимальна політика управління запасами для моделі з фіксованим рівнем обслуговування має такі параметри: розмір партії поповнення запасів одиниць, обсяг резервного запасу одиниці, точка замовлення поповнення запасу одиниць. Оптимальний рівень ризику дефіциту Мінімальне значення функції витрат на управління запасами з урахуванням витрат на зберігання резервного запасу грош. од. Рівень обслуговування складає

Порівнюючи дві політики – політики фіксованого ризику і фіксованого рівня обслуговування, можна зробити висновок про те, що проведення політики фіксованого рівня обслуговування виправдано при значних витратах у наслідок дефіциту (при ▲