§12. Равномерное распределение

Одномерная непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в промежутке [а; b], которому принадлежат все возможные значения Х, если её плотность сохраняет в этом промежутке постоянное значение, а именно:

Функция распределения

Числовые характеристики равномерного распределения выражаются через его параметры по формулам .

12.1. Найти числовые характеристики случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (2; 8).

12.2. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее трех минут. Чему равно среднее время ожидания автобуса?

12.3. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

12.4. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более, чем на 20 с.

12.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04, б) большая 0,05. Чему равна средняя ошибка при отсчете?

12.6. Автобусы некоторого маршрута идут точно по расписанию с интервалом в 10 минут. Пассажир подходит к остановке в случайный момент времени, так что все моменты его появления на остановке в интервале между двумя автобусами можно считать равновозможными. Найти вероятность того, что время ожидания пассажиром автобуса будет не более шести и не менее двух минут.

§13. Показательное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Т (традиционное обозначение для показательного распределения), которое описывается плотностью где  – положительная постоянная величина.

Функция распределения показательного закона

Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины Т в промежуток (а; b) .

Числовые характеристики показательно распределенной случайной величины выражаются через её параметр следующим образом: .

Связь пуассоновского распределения с показательным выражается в том, что случайная величина Х (число событий некоторого потока за фиксированный промежуток времени t) имеет пуассоновское распределение с параметром  тогда и только тогда, когда случайная величина Т (промежуток времени между последовательными событиями) имеет показательное распределение с параметром , при этом  = t.

13.1. Найти числовые характеристики показательного распределения, заданного при а) плотностью , б) функцией распределения .

13.2. Случайная величина Т имеет показательное распределение с параметром  = 2. Найти вероятность попадания Т на промежутки [1; 2], .

13.3. Время t расформирования состава через горку – случайная величина, подчиненная показательному закону. Пусть  = 5 – среднее число поездов, которые горка может расформировать за 1 ч. Найти вероятность того, что время расформирования состава: а) меньше 30 мин; б) больше 6 мин, но меньше 24 мин.

13.4 Время безотказной работы технического устройства имеет показательное распределение с параметром  =  . Найти вероятность того, что устройство проработает безотказно не менее 800 часов.

13.5. Поток отказов технического устройства с высокой степенью точности моделируется стационарным пуассоновским потоком. Среднее число отказов за 1000 часов работы устройства равно 10. Найти вероятность того, что устройство проработает безотказно не менее 100 и не более 200 часов. Чему равно среднее время безотказной работы технического устройства?

13.6. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательный закон с функцией распределения , для второго – . Найти вероятность того, что за шестичасовой период испытания: а) оба элемента откажут, б) оба элемента не откажут, в) только один элемент откажет, г) хотя бы один элемент откажет.

13.7. Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t задается формулой ( > 0). Найти среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.

13.8. Вероятность безотказной работы ЭВМ имеет экспоненциальное распределение с параметром  =  . Найти вероятность того, что за сутки произойдет хотя бы один отказ ЭВМ.

13.9. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательный закон с функцией распределения , t  0. Найти вероятность того, что за время длительностью t = 100 ч: а) элемент откажет, б) элемент не откажет.