2. Случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате эксперимента может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Функция распределения случайной величины Х обозначается F(x) и определяется равенством P{X < x}.

Свойства функции распределения:

1) 0  F(x)  1;

2) F(x₁)  F(x₂), если x₁  x₂;

3) , ;

4) F(x) непрерывна слева: .

Вероятность попадания случайной величины Х на числовой промежуток [a; b) вычисляется по формуле .

§8. Дискретные случайные величины

Случайная величина называется дискретной, если все её возможные значения можно перенумеровать.

Дискретная случайная величина обычно задаётся рядом распределения, т.е.

таблицей вида	х	х1	х2		хn
	р	р1	р2		рn

Математическое ожидание M[X] (или m_x) дискретной случайной величины X вычисляется по формуле .

Дисперсия D[X] дискретной случайной величины X определяется формулой

.

Чаще дисперсию удобнее вычислять по формуле

.

Среднее квадратическое отклонение [X] случайной величины Х определяется формулой .

Вероятность попадания дискретной случайной величины на числовой промежуток равна сумме вероятностей значений, попадающих в данный промежуток.

Функция распределения дискретной случайной величины кусочно-постоянная.

8.1. Монету бросают два раза. Случайная величина Х – число выпадений герба. Составить её ряд распределения. Найти M[X], D[X], [X] и P{X = 0,3}, P{0  X  1,5}.

8.2. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X] и P{1  X  2}, P{2  X  4} дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.

х	1	2	3	4	5
р	0,38	0,26	0,2	0,14	0,02

8.3. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁ = 4 с вероятностью р₁ = 0,5, х₂ = 6 с вероятностью р₂ = 0,3 и х₃ с вероятностью р₃. Найти х₃ и р₃ , зная, что M[X] = 8.

8.4. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 3, а также известны математические ожидания этой величины и её квадрата: M[X] = 2,3, M[X²] = 5,9. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям Х.

8.5. Из орудия ведётся стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,4, при каждом следующем увеличивается на 0,1. Составить закон распределения числа истраченных снарядов, если имеется 4 снаряда. Найти числовые характеристики данной случайной величины.

8.6. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х₁ = 1, х₂ и х₃ , причём х₁ < х₂ < х₃ . Вероятности того, что Х примет значения х₁ и х₂ соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины Х, если M[X] = 2,2, D[X] = 0,76.

8.7. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X] и P{–1  X  2} дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.

	х		–1	0	1	2	3
	р		0,3	0,1	0,1	0,4	0,1

8.8. Найти числовые характеристики M[X], D[X], [X] и P{   1} дискретной случайной величины X, заданной рядом распределения. Построить график функции распределения случайной величины Х.

х	–2	–1	0	1	2
р	0,1	0,2	0,2	0,4	0,1

8.9. Дискретная случайная величина Х принимает два возможных значения: х₁ и х₂ , причём х₁ < х₂ . Найти закон распределения величины Х, если M[X] = 1,4, D[X] = 0,24, а вероятность того, что Х примет значение х₁ равна 0,6.

8.10. Производится ряд выстрелов из орудия с вероятностью попадания 0,8. Стрельба ведётся до первого попадания, но не более 4 выстрелов. Определить примерный расход снарядов на 100 подобных стрельб.