65

Министерство образования российской федерации

Б рянский государственный технический университет

«Утверждаю»

Ректор университета

__________ А.В. Лагерев

«__»___________ 2003 г.

Теория вероятностей и математическая статистика

Сборник задач

Брянск 2003

УДК 511

Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач. – Брянск: БГТУ, 2003. – 59 с.

Разработали: А.И. Горелёнков, канд. техн. наук, доц.;

В.М. Кобзев, ст. преп.;

А.П. Мысютин, канд. техн. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» (протокол №3 от 17.03.02).

Научный редактор Н.А. Ольшевская, Э.К. Фёдорова

Редактор издательства Л.Н. Мажугина

Компьютерный набор А.И. Горелёнков

Темплан 2003 г., п. 9

Формат . Бумага офсетная. Офсетная печать. Подписано в печать Усл. печ. л. 3,42 Уч.-изд. л. 3,42 Тираж 200 экз. Заказ Бесплатно.

Брянский государственный технический университет 241035, Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, БГТУ, тел. 55-90-49. Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16.

Предисловие

Настоящий сборник представляет собой систематизированную подборку задач по теории вероятностей и математической статистике. Все задачи снабжены ответами. В начале каждого параграфа приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Сборник задач продолжает традицию задачников по теории вероятностей, издававшихся кафедрой высшей математики БГТУ (БИТМ) [4, 5, 9]. Данное издание является переработкой последнего из этих задачников. Добавлено много задач, в частности, составлены параграфы «Комбинаторика», «Неравенство Чебышева», включена новая тема «Элементы математической статистики».

Список литературы, приведенный в конце сборника, указывает основные источники, которыми мы пользовались.

Большую помощь в подборе задач оказали преподаватели кафедры «Высшая математика» Н.В. Лозинская, Н.А. Ольшевская, Н.Л. Порошина, которым авторы выражают благодарность.

Авторы будут признательны всем, заметившим недостатки данного издания и внесшим предложения по его улучшению.

1. Случайные события

§1. Элементы комбинаторики

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Размещением k элементов из n элементов называется упорядоченная выборка (либо расположение в определённом порядке) k из этих элементов.

Число размещений из n различных элементов по k элементов без повторений вычисляется по формуле .

Число размещений из n различных элементов по k элементов с неограниченными повторениями определяется равенством .

Размещения из n различных элементов по n элементов называются перестановками.

Число перестановок из n различных элементов вычисляется по формуле

.

Число перестановок с повторениями из n элементов, спецификация которых { }, определяется равенством

, где .

Сочетанием k элементов из n элементов называется выборка k из них без учёта порядка.

Число сочетаний из n различных элементов по k элементов без повторений вычисляется по формуле .

Число сочетаний из n различных элементов по k элементов с неограниченными повторениями определяется равенством .

1.1. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?

1.2. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять одну книгу одного на книгу другого?

1.3. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя, культорга и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

1.4. На диск секретного замка нанесены 10 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим пароля?

1.5. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг, одна из полос которого должна быть красной, если имеется материал пяти различных цветов?

1.6. Сколькими различными способами можно выполнить групповой портрет пяти человек, если поставить а) их в один ряд; б) трёх человек в первом ряду и двух – во втором?

1.7. Сколькими способами можно расселить девять студентов в трёх комнатах, рассчитанных на трёх человек каждая?

1.8. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

1.9. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?

1.10. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нём а) 8 открыток; б) 8 различных открыток?

1.11. Номера состоят из двух букв и трёх цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.

1.12. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?

1.13. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были чётными?

1.14. Из 10 разных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не менее 5 цветков. Сколько различных способов существует для составления такого букета, учитывая, что число цветков должно быть нечётным?

1.15. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1.16. В клубе велосипедистов при перерегистрации членских билетов из суеверия перестали использовать цифру 8. Сколько членов было в клубе, если известно, что использованы все трёхзначные номера, не содержащие ни одной 8?

1.17. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

1.18. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра входит в состав числа только один раз?

1.19. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно вынуть 6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

1.20. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе содержалась цифра 1 (цифры в числе не должны повторяться)?