- •Министерство образования российской федерации
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Предисловие
- •1. Случайные события
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •§3. Операции над событиями
- •§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§5. Формулы полной вероятности и бейеса
- •§6. Формула бернулли
- •§7. Элементы теории структурной надёжности
- •2. Случайные величины
- •§8. Дискретные случайные величины
- •§9. Непрерывные случайные величины
- •§10. Биномиальное распределение
- •§11. Распределение пуассона. Простейший поток событий
- •§12. Равномерное распределение
- •§13. Показательное распределение
- •§14. Нормальное распределение
- •§15. Теоремы группы цпт
- •§16. Двумерные случайные величины
- •§17. Функции случайных величин
- •§18. Закон больших чисел
- •3. Математическая статистика
- •§19. Основы выборочного метода
- •§20. Элементы корреляционного анализа
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •§3. Операции над событиями
- •§9. Непрерывные случайные величины
- •§10 Биномиальное распределение
- •§15. Теоремы группы цпт
- •§16. Двумерные случайные величины
- •§17. Функции случайных величин
- •§18. Закон больших чисел
- •§19. Основы выборочного метода
- •§20. Элементы корреляционного анализа
- •Список рекомендуемой литературы
- •Приложения
- •Оглавление
§20. Элементы корреляционного анализа
Групповые средние , ,
где хi и yj – середины соответствующих интервалов; i = 1, 2, …, l; j = 1, 2, …, m; nij – частоты пар (xi, yj); ; .
Общие средние , ,
где – объем выборки.
Выборочные дисперсии , .
Выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация .
Коэффициенты регрессии Y по X и X по Y , .
Линейные уравнения регрессии Y по X и X по Y , .
Коэффициент корреляции .
20.1. Распределение 100 образцов материала по процентному содержанию синтетической добавки X (%) и предельному напряжению на разрыв Y (Н/cм2) приведены в следующей таблице:
Y Х |
11 |
16 |
21 |
26 |
31 |
36 |
|
20 |
2 |
5 |
|
|
|
|
7 |
30 |
|
6 |
4 |
|
|
|
10 |
40 |
|
|
7 |
32 |
5 |
|
44 |
50 |
|
|
3 |
10 |
8 |
1 |
22 |
60 |
|
|
|
5 |
10 |
2 |
17 |
|
2 |
11 |
14 |
47 |
23 |
3 |
100 |
Требуется: 1) найти групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, найти среднее предельное напряжение на разрыв, когда процент синтетической добавки составляет 50%, и сравнить его с групповой средней, вычисленной непосредственно по корреляционной таблице.
20.2. Распределение 100 сосен по диаметру ствола Х (см) и высоте Y (м) приведено в следующей таблице:
Y Х |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
|
20 |
9 |
2 |
|
|
|
11 |
30 |
6 |
15 |
9 |
|
|
30 |
40 |
1 |
9 |
13 |
3 |
|
26 |
50 |
|
5 |
14 |
3 |
|
22 |
60 |
|
1 |
3 |
5 |
2 |
11 |
|
16 |
32 |
39 |
11 |
2 |
100 |
Требуется: 1) найти групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, найти средний диаметр сосен высотой 35 м.
20.3. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на газ Х и стоимостью акций газовых компаний Y, получены следующие данные: ; ; ; ; = 40,5. Найти а) уравнения регрессии Y на Х и Х на Y; б) среднюю величину стоимости акции при цене на нефть х = 16,6, используя соответствующее уравнение регрессии.
20.4. Известно, что первоначальная стоимость объекта Х (млн. руб.) и годовая норма отчислений Y (%) связаны уравнениями регрессий: и . Найти средние значения величин Х и Y, а также коэффициент корреляции между этими величинами.
20.5. При исследовании корреляционной зависимости между объемом валовой продукции Y (млн. руб.) и среднесуточной численностью работающих Х (тыс. чел.) для ряда предприятий получено следующее уравнение регрессии Х на Y: . Найти уравнение регрессии Y на Х, если известно, что коэффициент корреляции между этими величинами равен 0,84, а средний объем валовой продукции предприятий составляет 39,8 млн. руб.
|
|
|
20.6. Распределение 100 семей по доходу Х (руб.) на члена семьи и доле расходов на питание Y (%) приведено в следующей таблице:
Y Х |
40–50 |
50–60 |
60–70 |
70–80 |
80–90 |
|
100–500 |
|
|
|
2 |
8 |
10 |
500–900 |
|
|
10 |
16 |
|
26 |
900–1300 |
|
|
30 |
4 |
2 |
36 |
1300–1700 |
2 |
16 |
2 |
|
|
20 |
1700–2100 |
6 |
2 |
|
|
|
8 |
|
8 |
18 |
42 |
22 |
10 |
100 |
Требуется: 1) найти групповые средние и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю долю расходов на питание при доходе 1300 руб. на члена семьи.
20.7. При исследовании корреляционной зависимости между величинами Х и Y получены следующие данные: ; ; ; ; = 50. Написать уравнения регрессии Y на Х и Х на Y и построить графики прямых регрессии.
20.8. При исследовании зависимости между средним баллом аттестата Х и успеваемостью первокурсников Y для ряда вузов получено следующее уравнение регрессии Y на Х: . Составить уравнение регрессии Х на Y, если известно, что коэффициент корреляции между этими величинами оказался равным , а средняя успеваемость первокурсников составила 3,5 балла.
20.9. При исследовании корреляционной зависимости между возрастом Х (лет) жителей района и числом Y обращений в поликлинику в месяц получены следующие уравнения регрессий: и . Найти: а) коэффициент корреляции между рассматриваемыми величинами; б) средний возраст и среднее число обращений в поликлинику в месяц жителя района.
ОТВЕТЫ