Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вероятность_задачник.doc
Скачиваний:
66
Добавлен:
17.08.2019
Размер:
3.01 Mб
Скачать

§6. Формула бернулли

Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что в n испытаниях событие А появится k раз, находится по формуле Бернулли

, где .

6.1. Вероятность того, что расход электроэнергии за рабочий день на механическом заводе не будет превышать нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что среди 6 рабочих дней окажется 2 дня, в течение которых произойдёт перерасход электроэнергии.

6.2. Производится 5 независимых выстрелов в одинаковых условиях. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что будет более одного попадания.

6.3. Два спортсмена играют в настольный теннис. Вероятность выигрыша первого спортсмена равна . Какова вероятность того, что он выиграет 2 партии из 5?

6.4. Считая вероятности рождения человека по временам года одинаковыми, найти вероятность того, что из 6 человек не менее 5 родились зимой?

6.5. Производится 8 выстрелов по резервуару с горючим, причём первое попадание вызывает течь, а второе – воспламенение горючего. Какова вероятность того, что резервуар будет подожжен, если вероятность попадания при отдельном выстреле равна 0,2?

6.6. Отрезок АВ разделён точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу «брошены» 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

6.7. Система радиолокационных станций ведёт наблюдение за группой из 6 объектов. Каждый из них может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что будет потеряно от двух до трёх объектов.

6.8. В случайно выбранной семье четверо детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, определить вероятность того, что в выбранной семье окажется: а) два мальчика и две девочки, б) более двух мальчиков.

6.9. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: а) 3 партии из 4 или 5 из 8, б) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8?

6.10. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырёх?

§7. Элементы теории структурной надёжности

Надёжностью изделия в широком смысле называется способность изделия сохранять качество в течение определённого периода эксплуатации.

Математической надёжностью изделия за время t называется вероятность его безотказной работы за это время.

Для анализа надёжности составляется структурная схема изделия. При этом различают последовательное и параллельное соединения элементов системы в смысле надёжности.

Последовательным называется такое соединение элементов в системе, при котором отказ любого из них приводит к отказу системы.

При последовательном соединении надёжность системы P выражается через надёжности элементов по формуле .

Параллельным называется такое соединение элементов в системе, при котором отказ системы наступает только при отказе всех её элементов.

При параллельном соединении надёжность системы P выражается по формуле , где .

7.1. Система состоит из трёх элементов, отказы которых независимы, а вероятности отказов равны 0,1, 0,2, 0,3. Для отказа системы достаточно, чтобы отказал любой из её элементов. Найти надёжность системы.

7.2. Система состоит из трёх элементов, отказы которых независимы, а вероятности отказов равны 0,2, 0,1, 0,5. Отказ системы наступает тогда, когда отказывают все три элемента. Найти надёжность системы.

7.3. Определить надёжность системы.

Надёжности элементов равны:

p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9; p4 = 0,6.

7.4. Определить надёжность системы.

Надёжности элементов равны:

p1 = 0,8; p2 = 0,9; p3 = 0,7;

p4 = 0,6; p5 = 0,5.

7.5. Определить надёжность системы.

Надёжности элементов равны:

p1 = 0,7; p2 = 0,8; p3 = 0,6;

p4 = 0,7; p5 = 0,8.

7.6. Прибор состоит из двух узлов, отказы которых независимы, и выходит из строя, если откажет хотя бы один узел. Вероятность безотказной работы первого узла в течение времени t равна 0,8, второго – 0,7. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый узел.

7.7. Система испытывалась в течение времени t, в результате чего она вышла из строя. Найти вероятность того, что отказали только элементы с номерами 2 и 4.

Надёжности элементов равны:

p1 = 0,6; p2 = 0,8; p3 = 0,7; p4 = 0,9.

7.8. Система состоит из пяти элементов, отказы которых независимы, а вероятности отказов за время t одинаковы и равны 0,3. Отказ системы наступает лишь тогда, когда выходят из строя по меньшей мере три элемента из пяти. Найти надёжность системы за время t.

7.9. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и с перегрузкой. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев включения прибора. Вероятность выхода из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1, в режиме с перегрузкой – 0,7. Определить надёжность прибора за время t.

7.10. В прибор входят 3 одинаковых лампы, вероятность перегорания каждой из которых равна 0,3 и перегорания независимы. Если перегорит только одна лампа, то прибор выходит из строя с вероятностью 0,4, только две – с вероятностью 0,7. Если перегорят все лампы, то прибор обязательно выйдет из строя. Найти вероятность того, что прибор выйдет из строя.

7.11. Определить надёжность системы.

Надёжности элементов равны:

p1 = 0,7; p2 = 0,8; p3 = 0,6;

p4 = 0,7; p5 = 0,9; p6 = 0,9.

7.12. Прибор состоит из двух узлов, отказы которых независимы, и выходит из строя, если откажет хотя бы один узел. Вероятность безотказной работы первого узла в течение времени t равна 0,8, второго – 0,7. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказали оба узла.

7.13. Определить надёжность системы.

Надёжности элементов равны:

p1 = 0,9; p2 = 0,9; p3 = 0,8;

p4 = 0,8; p5 = 0,7.

7.14. Изделие можно разбить на три блока, отказы которых за время t независимы, а вероятности отказов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,1. Найти надёжность изделия в следующих случаях: а) изделие выходит из строя, если отказывает хотя бы один из трёх выделенных блоков; б) изделие выходит из строя лишь тогда, когда отказывают все три блока; в) для выхода изделия необходимо, чтобы вышли из строя по меньшей мере два из трёх блоков.

7.15. Система испытывалась в течение времени t, в результате чего она вышла из строя. Найти вероятность того, что отказали только элементы с номерами 2 и 5.

Надёжности элементов равны:

p1 = 0,9; p2 = 0,8; p3 = 0,5;

p4 = 0,4; p5 = 0,7.