- •Министерство образования российской федерации
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Предисловие
- •1. Случайные события
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •§3. Операции над событиями
- •§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •§5. Формулы полной вероятности и бейеса
- •§6. Формула бернулли
- •§7. Элементы теории структурной надёжности
- •2. Случайные величины
- •§8. Дискретные случайные величины
- •§9. Непрерывные случайные величины
- •§10. Биномиальное распределение
- •§11. Распределение пуассона. Простейший поток событий
- •§12. Равномерное распределение
- •§13. Показательное распределение
- •§14. Нормальное распределение
- •§15. Теоремы группы цпт
- •§16. Двумерные случайные величины
- •§17. Функции случайных величин
- •§18. Закон больших чисел
- •3. Математическая статистика
- •§19. Основы выборочного метода
- •§20. Элементы корреляционного анализа
- •§1. Элементы комбинаторики
- •§2. Классическое и статистическое определение вероятности
- •§3. Операции над событиями
- •§9. Непрерывные случайные величины
- •§10 Биномиальное распределение
- •§15. Теоремы группы цпт
- •§16. Двумерные случайные величины
- •§17. Функции случайных величин
- •§18. Закон больших чисел
- •§19. Основы выборочного метода
- •§20. Элементы корреляционного анализа
- •Список рекомендуемой литературы
- •Приложения
- •Оглавление
§9. Непрерывные случайные величины
9.1. М[Х] = ; D[X] = ; σ[X] = ; Р{0 < Х 1,5} = 0,25; 9.2. a = ; М[X] = 0; D[X] = ; σ[X] = ; Р{Х ≤ 0} = ; Р{Х = –1} = 0; Р{Х > 0,5} = ; 9.3. ; ; 9.4. а = ; b = ; ; Р{0 ≤ Х ≤ 1} = ; 9.5. а = 1; ; P{2 < X < 3} = ; 9.6. ; ; 9.7. ; М[Х] = ; D[X] = ; σ[X] = ; 9.8. a = ; М[X] = 2; D[X] = ; σ[X] = ; Р{Х ≤ 3} = ; Р{2 <Х< 5} = ; Р{Х > 3,5} = ; 9.9. ; М[X] = 2; D[X] = 8; σ[X] = ; 9.10. а = 3; ; P{2 < X < 4} = ; Р{–2 < Х< 2} = ; 9.11. ; ; .
§10 Биномиальное распределение
10.1. 0,625; 10.2. M[X] = 2; D[X] = 1,9;
-
10.3.
x
0
1
2
3
4
p
0,6561
0,2916
0,0486
0,0036
0,0001
M[X] = 0,4; D[X] = 0,36; [X] = 0,6; 10.4. D[X] = 0,495; 10.5. M[X] = 800; D[X] = 160; [X] = 12,65; 10.6. n = 144; p = 0,5;
10.7.
-
10.8
x
0
1
2
3
P
0,008
0,096
0,384
0,512
M[X] = 2,4; D[X] = 0,48; [X] = 0,693.
§11. Пуассоновское распределение
11.1. 0,375; 11.2. ; 11.3. =2; P{X > 0} = 1e2 0,865; 11.4. а) 0,135; б) 0,336; 11.5. а) 0,15; б) 0,575; 11.6. 0,135; 11.7. M[X] = 60; D[X] = 60; [X] = 7,75; 11.8. а) 0,225; б) 0,2; в) 0,575; г) 0,95; 11.9. 0,8.
§12. Равномерное распределение
12.1. M[X] = 5; D[X] = 3; [X] = 1,73; 12.2. 0,6; 2,5 мин.; 12.3. P{X > 0,02} = 0,3; P( > 0,02) = 0,6; 12.4. ; 12.5. а) 0,7; б) 0,25; 12.6. 0,4.
§13. Показательное распределение
13.1. а) M[T] = 0,2; D[T] = 0,04, [T] = 0,2; б) M[T] = 10; D[T] = 100, [T] = 10; 13.2. 0,117; 0,632; 13.3. а) 0.918; б) 0,471; 13.4. 0,135; 13.5. 0,233; 13.6. a) 0,029; б) 0,657; в)0,314; г)0,343; 13.7. ; 13.8. 0,865; 13.9. a) 0,950; б) 0,050.
§14. Нормальное распределение
14.1. а) M[Х] = –5; D[Х] = 9, [Х] = 3; б) M[Х] = 1; D[Х] = 16, [Х] = 4; 14.2. f4, 2 (x)= ; P{1 X 5} = 0,6247; P{X 5} = 0,6915; 14.3. 0,2358; 14.4. = 10; 14.5. a = 8, = 5; 14.6. 0,9864; 14.7. 0,9876; 14.8. 0,31082 = 0,0966; 14.9. a) 1,24%; б) 13,58%; 14.10. 12 мм; 0,9544; 14.11. 0,00135; 14.12. 0,7588; 14.13. =4; 0,3085; 14.14. a) 0,8533; б) 0,9736; 14.15. 0,8533; 14.16. 0,9868.
§15. Теоремы группы цпт
15.1. 0,8413; 15.2. 0,00087; 15.3. а) 0,0605; б) 0,8185; в) 0,0062; 15.4. 0,9708; 0,000011; 0,0720; 15.5. 0,9192; 15.6. 0,8413; 15.7. а) 0,0579; б) 0,0019; 15.8. а) 0,4887; б) 0,5; в) 0,5.
§16. Двумерные случайные величины
-
16.1
Х
2
3
9
У
0,2
0,8
P
0,26
0,38
0,36
Р
0,56
0,44
Х у = 0,2 |
2 |
3 |
9 |
|
У х = 3 |
0,2 |
0,8 |
Р |
0,321 |
0,393 |
0,286 |
|
Р |
0,579 |
0,421 |
16.2. M[Х] = 0,69; M[X2] = 0,867; D[Х] = 0,3909, [Х] = 0,6252; M[У] = 1,5; M[Y2] = 2,5; D[Y] = 0,25, [Y] = 0,5; M[XY] = 1,07; Kxy = 0,035; rxy = 0,11196; 16.3. M[Х] = 1,4; M[X2] = 2,38; D[Х] = 0,42, [Х] = 0,648; M[У] = 0,6; M[Y2]= 0,78; D[Y] = 0,42, [Y] = 0,648; M[XY] = 0,42; Kxy= –0,42; rxy= –1; зависимы;
X У |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0,49 |
1 |
0 |
0,42 |
0 |
2 |
0,09 |
0 |
0 |
16.4. f(x) = 2(1 – x) при 0 x 1; M[Х] = ; M[X2] = ; D[Х] = , [Х] = ; f(y) = 2(1 – y) при 0 y 1; M[У] = ; M[Y2] = ; D[Y] = , [Y] = ; M[XY] = ; Kxy = – ; rxy = – ; F(x;y) = 2(1 – x)(1 – y) при (х;у) D; 16.5. а = 4; f(x) = 2x при x[0;1], f(y) = 2y при y[0;1]; f(xy) = 4xy = 2x2y = f(x)f(y) X и Y независимы Kxy = rxy = 0, f(yx) = 2y, y[0;1], f(xy) = 2x, x[0;1],
16.6. f(x) = , x[–5;5]; M[Х] = 0; [Х] = 2,5; f(y) = , y[–5;5]; M[Y]=0, [Y]=2,5; M[XY]=0; Kxy= rxy=0; f(x)f(y) = = f(x; y) X и Y – зависимы;
16.7. f(xy) = ; 16.8. M[Х] = 0,17; M[X2] = 0,079; D[Х] = 0,0501, [Х] = 0,2238; M[У] = 1,45; M[Y2] = 2,275; D[Y] = 0,1725, [Y] = 0,4153; M[XY] = 0,28; Kxy = 0,0335; rxy = 0,3604; yx = 0,6687x + 1,3363; xy=0,1942y – 0,1116; 16.9. M[Х] = 0,5; M[X2] = 0,4; D[Х] = 0,15, [Х] = 0,3873; M[У] = 0,75; M[Y2] = 0,625; D[Y] = 0,0625, [Y] = 0,25; M[XY] = 0,375; Kxy = 0; 16.10. f(x) = 2x, x[0;1], f(y) = 0,5y, y[0;1] , f(xy)= xy = 2x0,5y = f(x)f(y) X и Y независимы Kxy = rxy=0, f(x;y) = 0,25x2y2, (x;y)D; 16.11. fx(x) = 0,5(sinx + cosx), x , fy(y) = 0,5(siny + cosy), y , M[Х] = M[Y] = ; M[X2] = M[Y2] = ; D[X] = D[Y] = ; [X] = [Y] 0,4332; M[XY] = ; Kxy = 0,0461; rxy –0,2455; x и y – зависимы; , (x,y)D; , (x,y)D; 16.12. f(x,y) = abе – (ах+bх) ; 16.13. M[Х] = 1,4; M[X2] = 2,15; D[Х] = 0,19, [Х] = 0,4359; M[У] = 0,7; M[Y2] = 1,1; D[Y] = 0,61, [Y] = 0,7810; M[XY] = 1; Kxy = 0,02; rxy = 0,0587; yx = 0,1053x + 0,5526; xy = 0,0328y + 1,3770 (или y = 30,5x–42).