3. Математическая статистика

§19. Основы выборочного метода

Обозначения:

x_i – значения признака (случайной величины Х);

N и n – объемы генеральной и выборочной совокупностей;

N_i и n_i – число элементов генеральной и выборочной совокупностей со значением признака х_i;

M и m  число элементов генеральной и выборочной совокупностей, обладающих данным признаком.

Таблица 1. Расчет характеристик генеральной и выборочной совокупностей.

Наименование характеристики	Генеральная Совокупность	Выборка
Средняя
Дисперсия
Доля

Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров (характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.

Таблица 2. Оценка параметров генеральной совокупности

по собственно-случайной выборке.

Параметр	Выборка	Несмещенная и состоятельная оценка	Дисперсия оценки
Генеральная доля	Повторная
	Бесповторная
Генеральная средняя	Повторная
	Бесповторная
Генеральная дисперсия	Повторная и бесповторная

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной доли собственно-случайной выборки называется средней квадратической (стандартной) ошибкой выборки. (Для бесповторной выборки обозначения – соответственно и ).

Формулы доверительной вероятности для средней и доли .

При заданной доверительной вероятности  предельная ошибка выборки равна t-кратной величине средней квадратической ошибки, где 2₀(t) =  , т.е. , .

Интервальные оценки (доверительные интервалы) для генеральной средней и генеральной доли могут быть найдены по формулам: , .

Таблица 3. Формулы средних квадратических ошибок выборки

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Генеральная средняя
Генеральная доля

Таблица 4. Определение объема выборки по доверительной вероятности 

и предельной ошибке выборки 

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Генеральная средняя
Генеральная доля

19.1. Отдел технического контроля электролампового завода хочет узнать срок службы (время горения) отдельного вида лампочек. С этой целью случайная выборка 80 лампочек была испытана на продолжительность горения. Выборочная средняя равняется 2915 час, а выборочное среднее квадратическое отклонение 396 час. Найти вероятность того, что средний срок службы лампочек данного вида отличается от выборочной средней не более, чем на 90 час (по абсолютной величине).

19.2. Случайная выборка 800 школьников показала, что 480 из них хотела бы заниматься в школе в первую смену. Определить границы, в которых с вероятностью 0,9 заключена доля всех школьников, которые хотели бы учиться в первую смену.

19.3. Отдел сбыта кондитерской фабрики при опросе 200 жителей города А, отобранных по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, обнаружил, что для 50 из них желательно изменение ассортимента продукции. Отдел наметил провести такое же обследование в городе Б. Найти: а) 95%-й доверительный интервал для доли потребителей в городе А, которые будут покупать новые виды продукции; б) объем выборки в городе Б, чтобы достичь оценки доли потребителей новой продукции в пределах 4% с доверительной вероятностью 0,95.

19.4. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100 студентов из 500 обучающихся и получены следующие данные о времени решения задачи по теории вероятностей:

Время решения задачи, мин.	6	9	12	15	18
Количество студентов	6	18	52	17	7

Найти: а) вероятность того, что среднее время решения задачи в выборке отличается от среднего времени решения задачи во всей генеральной совокупности не более чем на 1 минуту (по абсолютной величине); б) число студентов, которое нужно отобрать в выборку, чтобы то же отклонение гарантировать с вероятностью 0,9876; в) границы, в которых с вероятностью 0,9596 заключена доля студентов, решавших задачу не более 9 минут.

19.5. Для определения рейтинга мэра города было опрошено 200 человек. Выборочный рейтинг оказался равным 0,4. Определить необходимое количество респондентов, гарантирующее с вероятностью 0,9802 ошибку социологического обследования, не превосходящую 2%.

19.6. Проводится сравнительный анализ старого и нового метода сборки некоторого изделия. Среднее время сборки по старому методу составляет 90 мин. Для оценки нового метода сборки по схеме бесповторной собственно-случайной выборки были отобраны 100 рабочих из 500. Получено следующее распределение рабочих по продолжительности сборки:

Продолжительность сборки, мин.	75	80	85	90	95
Число рабочих	17	27	33	12	11

Найти: а) доверительный интервал с вероятностью 0,95 для среднего времени сборки по новому методу; б) наименьший размер выборки, необходимый для получения среднего значения генеральной совокупности в пределах двух минут с доверительной вероятностью 0,9901.

19.7. Маркетинговое исследование показало, что реализуемый фирмой товар требуется 16 из 200 опрашиваемых. Фирма разворачивает свою деятельность в районе с населением 20000 человек. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 будет заключено количество покупателей.

19.8. Торговая фирма получила от поставщика пробную партию из 100 стиральных машин. Среди них оказалось 5 с дефектами. Найти вероятность того, что доля стиральных машин с дефектами во всей партии из 5000 штук отличается от таковой в выборке не более чем на 0,02.

19.9. Из 620 студентов-первокурсников БГТУ было отобрано по схеме собственно-случайной бесповторной выборки 100 студентов, из которых оказалось 60 проживающих в г. Брянске. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключен процент студентов – жителей г. Брянска среди всех студентов первого курса.

19.10. По схеме собственно-случайной бесповторной выборки из общего большого числа стальных проволок, идущих на изготовление канатов, были отобраны 150 и проведены испытания на растягивающее усилие. Оказалось, что проволока выдерживает в среднем усилие в 67,2 кН/см² , а выборочное среднее квадратическое отклонение равно 2,2 кН/см². Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9975 заключено среднее разрывное усилие проволок всей партии; б) вероятность того, что среднее разрывное усилие всех проволок в партии не отличается от среднего разрывного усилия в выборке не более чем на 0,3 кН/см²; в) объем выборки, для которой доверительные границы с предельной ошибкой  = 0,5 имели бы место с доверительной вероятностью 0,9910.