4.12.Аксиомы рационального поведения (полноты, транзитивности).

Аксиомы рационального поведения приведены в работе Дж. Фон Неймана и О. Моргенштерна. При условии выполнения этих аксиом авторы предложили теорему о существовании некоторой функции, которая регулирует рациональный выбор - функции полезности.

Аксиома 1 (полноты). Когда предприниматель сталкивается с двумя любыми рядами событий, он всегда может сказать, который ему больше по душе или ему безразлично, который из рядов событий выбрать. Эта аксиома записывается в виде:

—Х≥ Y (X больше по душе, чем Y, или безразлично);

—Х≈ Y(Х и Y равноценные);

—Х> Y (X больше по душе, чем Y).

Благодаря аксиоме полноты потребитель наделяется способностью классифицировать (различать) ряды событий, т.е. умением сравнивать все альтернативы.

Аксиома 2 (транзитивности). Преимущество среди разных рядов событий - последовательная, т.е., если ряд Х > Y, Y > Z, то Х > Z. Благодаря аксиоме транзитивности исключается изменчивость вкусов потребителя.

Предположим, что потребитель отдает предпочтение ряду событий f над рядом d, а ряда d над рядом b, ряда b над рядом событий f.

Итак, чтобы хозяйствование было рациональное, предприниматель должен иметь упроченный вкус, иначе он никогда не сможет сделать правильный выбор.

4.13. Аксиомы рационального поведения (непрерывности, независимости, составленной лотереи).

Аксиома 3 (непрерывность). В условиях аксиомы транзитивности относительно альтернатив X, Y, Z предположим, что с вероятностью 1 индивид может получить Y, с вероятностью р — X, а с вероятностью (1 -р) — Z. Тогда существует такое р, при котором эти две лотереи для индивида равноценные.

Аксиома 4 (независимости). Пусть существуют блага или товары X и Y, которые, по мнению индивида, одинаковые, и две лотереи, которые отличаются лишь тем, что одна содержит X, а вторая — Y, тогда эти две лотереи для индивида одинаковые.

Аксиома 5 (неравных вероятностей). Если индивиду предложить две лотереи, которые дают одинаковый выигрыш с разной вероятностью, то он избирает ту, вероятность выигрыша которой большая.

Аксиома 6 (составленной лотереи). Когда призом одной лотереи является билет другой лотереи, то индивид принимает решение лишь из соображений вероятности выигрыша конечного приза.

12. Использование понятия лотереи для определения полезности.

Для определения полезности используют понятие лотереи. Для этого эксперту предлагают сравнить две альтернативы:

1. значение показателя X;

2. лотерею: получить Х_тіп с вероятностью ( 1-р) или Х_шах с вероятностью р — L(X_max; p; X_mim).

Величину вероятности (р) изменяют постепенно к такой величине от 0 до 1, пока, по мнению эксперта, значение показателя X и лотерея L(X_max; p; Х_тіn) станут эквивалентными. Т.е. все возможные результаты размещают с возрастанием. Полезность наиболее плохого результата оценивается как 0, а наилучшего — 1 (или как 100): U(X_mim) = 0; U(X_max ) = 100.

Для того чтобы оценить промежуточный результат, лицу предлагают принять участие в лотерее. Значение р, при котором лицо откажется от гарантированного результата в пользу участия в лотерее, берут для расчета полезности: U(X_j) = pU(X_max) + (1-p)U(X_тіп)=100. Т.о. из множества значений известного показателя X эксперт должен рассчитать два: Х_max и Х_тіп — наиболее приоритетное и наименее приоритетное, для которых X не хуже чем Х_шах, а Х_шіп не хуже чем X.

Полезность варианта X определяется вероятностью р — при котором эксперту безразлично, что избирать: X гарантировано или лотерею L(X_max; p; Х_тіn), где Х_max и Х_тіп— векторы, наиболее и наименее приоритетны сравнительно с X .

Например, имеем два варианта:

1. получить гарантированно 100 грн;

1. принять участие в лотерее: или получить 50 грн. с вероятностью 0,4, или получить 150 грн. с соответствующей вероятностью 0,6.

Для каждого человека будет свое значение вероятности, когда ему безразлично, что избирать: деньги гарантировано или участие в лотерее. Вероятность превращают в полезность, умножая на 100, если полезность определяется по 100-балльной шкалой, или умножая на 10, когда за 10-балльной.

Пусть лотерея L приводит к выигрышам (событий) Х₁,Х₂,...Х_П с соответствующими вероятностями Р₁,Р₂,...Р_П и соответствующими полезностями U(X_x),U(X₂),..U{X_n).

Математическое ожидание выигрыша, т.е. ожидаемый выигрыш, вычисляют по формуле:

М(х) = Р_пХ_п. (4.1)

Математическое ожидание полезности, т.е. ожидаемую полезность, определяют по формуле:

М(U(x) )= (4..2)

Полезность результатов совпадает с математическим ожиданием полезности результатов.

Взаимосвязь риска с функциями полезности определяется понятием детерминированного эквивалента.