5. Статистическая проверка статистических гипотез

5.1. Статистические гипотезы

Наряду с задачами оценивания параметров в математической статистике важную роль занимают так называемые задачи проверки статистических гипотез.

Пусть из ГС извлечена выборка , которая представляет собой некоторую с.в. Х.

О. 1. Гипотеза (Г) – предположение.

О. 2. Статистическая гипотеза – предположение относительно параметров, вида распределения ГС или наличия связей между ними.

О. 3. Нулевая гипотеза – первоначально выдвигаемая гипотеза (обозначается Н₀).

О. 4. Альтернативная гипотеза (или конкурирующая) – гипотеза, противопоставляемая нулевой (обозначается Н₁).

О. 5. Гипотеза называется однозначной, если включает в себя одно и только одно предположение.

Например, гипотеза «математическое ожидание ГС равно 5» – однозначная.

О. 6. Гипотеза называется многозначной, если включает в себя несколько предположений.

Например, гипотеза «Математическое ожидание ГС меньше 5» включает в себя бесчисленное множество предположений о том, чему же равно математическое ожидание ГС.

О. 7. Процесс принятия решения относительно статистической гипотезы называется статистической проверкой статистических гипотез.

О. 8. Статистический критерий – это случайная величина с известным законом распределения, выбранная для проверки гипотезы.

5.2. Ошибки при проверке гипотез

Поскольку любое предположение носит вероятностный характер, то возможны следующие ситуации:

1. Н₀ верна, и при проверке она принимается;

2. Н₀ верна, но при проверке она отвергается;

3. Н₀ не верна, и при проверке она отвергается;

4. Н₀ не верна, но при проверке она принимается.

В первом случае наше предположение отражает истинное положение вещей.

А во втором – допускается ошибка.

О. 1. Отказ от правильной нулевой гипотезы называется ошибкой 1-го рода.

О. 2. Вероятность появления ошибки 1-го рода называется уровнем значимости (обозначается α).

Примечание. На практике α берут близкое к нулю, например, α = 0,05; α = 0,01; α = 0,001.

В третьем случае предположение отражает истинное положение вещей.

А в четвертом опять допускается ошибка.

О. 3. Ошибочное принятие нулевой гипотезы, на самом деле неверной, называется ошибкой 2-го рода.

Вероятность появления такой гипотезы обозначается β.

О. 4. Мощность статистического критерия – это вероятность отвергнуть ошибочную альтернативную гипотезу (мощность критерия равна 1 – β).

Примечание. Чем больше мощность критерия, тем вероятнее, что он обнаружит ошибочность альтернативной гипотезы. С уменьшением уровня значимости падает мощность критерия.

5.3. Общая схема проверки гипотез

О. 1. Значение критерия, вычисленное по выборке, называется наблюдаемым (обозначается K_наб).

О. 2. Значения критерия, при которых Н₀ отвергается, образуют критическую область (КО).

О. 3. Значения критерия, при которых Н₀ принимается, называется областью принятия гипотезы (ОПГ).

О. 4. Точки, отделяющие критическую область от ОПГ, называются критическими (K_кр).

О. 5. Критическая область, для которой Р( ) = α, называется правосторонней (рис. 15).

Рис. 15. Правосторонняя критическая область

О. 6. Критическая область, для которой Р( ) = α, называется левосторонней (рис. 16).

Рис. 16. Левосторонняя критическая область

О. 7. Если существуют два критических значения , такие что Р( ) + Р( ) = α, то тогда критическая область называется двусторонней (рис. 17).

Рис. 17 Двусторонняя критическая область