6.2. Задачи для самостоятельного решения
1. Найти выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y по данным, приведенным в следующих корреляционных таблицах:
а)
Y |
X |
||||||||
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
ny |
|
100 |
2 |
1 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
3 |
120 |
3 |
4 |
3 |
– |
– |
– |
– |
– |
10 |
140 |
– |
– |
5 |
10 |
8 |
– |
– |
– |
23 |
160 |
– |
– |
– |
1 |
– |
6 |
1 |
1 |
9 |
180 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
4 |
1 |
5 |
nx |
5 |
5 |
8 |
11 |
8 |
6 |
5 |
2 |
n = 50 |
б)
Y |
X |
|||||||
18 |
23 |
28 |
33 |
38 |
43 |
48 |
ny |
|
125 |
– |
1 |
– |
– |
– |
– |
– |
1 |
150 |
1 |
2 |
5 |
– |
– |
– |
– |
8 |
175 |
– |
3 |
2 |
12 |
– |
– |
– |
17 |
200 |
– |
– |
1 |
8 |
7 |
– |
– |
16 |
225 |
– |
– |
– |
– |
3 |
3 |
– |
6 |
250 |
– |
– |
– |
– |
– |
1 |
1 |
2 |
nx |
1 |
6 |
8 |
20 |
10 |
4 |
1 |
n = 50 |
7. Элементы дисперсионного анализа
7.1. Постановка задачи
Часто встречаются ситуации, когда значения количественных признаков зависят от качественных. Так как качественные признаки могут быть представлены несколькими уровнями качества, то следует выяснить, какой из уровней наиболее влиятелен.
В факторном анализе выявляется значимость различий между дисперсией, порождаемой качественным фактором, и дисперсией, порождаемой случайными факторами.
Пусть на некоторый количественный параметр Х оказывает влияние фактор F, проявляющийся на n уровнях.
О. 1. Качественным фактором F называется причина, оказывающая существенное влияние на количественный параметр Х.
О. 2. Уровнем фактора Fi называется любая из его специфических сторон (некоторая мера или состояние фактора).
Пример 1.
Рекламирование товара есть фактор F, влияющий на количество продаж Х.
Пример 2.
Различные виды удобрений есть фактор F, влияющий на величину урожайности Х.
Воздействуя на величину Х, фактор порождает некоторую дисперсию (меняет её), но дисперсия также может меняться из-за случайных причин.
О. 3. Дисперсия, порождаемая качественным фактором, называется факторной, а случайными причинами – остаточной.
Общая дисперсия разбивается на две группы: факторную и остаточную. Суть дисперсионного анализа – выяснить, значимо или нет различие между факторной и остаточной дисперсиями.
Если выясняется, что факторная дисперсия невелика по сравнению с остаточной, то фактор не оказывает существенного влияния на количественный параметр Х. В противном случае фактор существенно влияет на величину Х.
При этом может быть поставлен вопрос о том, какой из уровней фактора оказывает наибольшее воздействие на Х. Тогда дополнительно проводят попарное сравнение средних по каждому из уровней фактора.
После выяснения степени влияния уровней исследователь может прогнозировать или рекомендовать соответствующие уровни фактора для учета развития ситуации.
О. 4. Если средние нескольких генеральных совокупностей одинаковы, то они называются однородными.
Однородные совокупности можно объединить в одну и получить более надежные выводы.
Процедуру сравнения средних называют дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними двух или нескольких групп на самом деле сравнивают (т. е. анализируют) выборочные дисперсии. Фундаментальная концепция дисперсионного анализа предложена Фишером в 1920 г.
О. 5. Дисперсионный анализ (ДА) определяется как статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования экспериментов.
По числу факторов, влияющих на результат эксперимента, различают однофакторный и многофакторный ДА.