3.1. Решение типовых задач
Пример 1. Получены результаты тестового экзамена по математике в баллах: 5, 3,7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.
Представить данные в виде вариационного и статистического ряда, построить полигон.
Решение. Объем выборки n = 15.
Упорядочим выборку и получим вариационный ряд:
2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.
Построим статистический ряд:
-
xi
2
3
4
5
7
10
ni
3
1
2
3
4
2
i
3/15
1/15
2/15
3/15
4/15
2/15
Полигон относительных частот показан на рис. 10.
Рис. 10. Полигон относительных частот
Пример 2.
В течение месяца ежедневно тщательно изучался расход горючего на автопредприятии. В результате получены данные: 102,256; 78,235; 95,624, 69,124; 112,352; 108,781; 119,546; 86,325; 89,126; 97,563; 101,325; 62,358; 110,256; 99,325; 103,651; 107,896; 111,238; 68,265; 72,348; 76,158; 97,589; 105,465; 88,658; 96,102; 112,325; 124,852; 106,324; 119,521; 114,368; 120,563.
Построить равномерный интервальный ряд из семи интервалов, гистограмму и эмпирическую функцию плотности распределения.
Решение. Найдем наибольшее и наименьшее значения в выборке: хmax = 124,852, xmin = 62,358.
Размах выборки равен 124,852 – 62,358 = 62,494.
Вычислим длину каждого элементарного интервала:
= 62,494/6 ≈ 10,416, здесь k = 7 – количество задаваемых интервалов;
= х1 = 62,358 – 10,416 / 2 = 62,358 – 5,208 = 57,15;
= 24,852 + 10,416/2 = 124,852 + 5,208 = 130,06;
остальные границы рассчитываются по формуле xi = xi–1 + ∆x:
х2 = 57,15 + 10,416 = 67,566;
х3 = 67,566 + 10,416 = 77,982;
х4 = 88,398; х5 = 98,814; х6 = 109,23; х7 = 119,646; х8 = 130,062.
Подсчитываем количество вариант, попадающих в каждый из интервалов (интервальные частоты): в первый интервал (между значениями х1 = 57,15 и х2 = 67,566) попадает всего 1 варианта, во второй – 4, в третий – 2, в четвертый – 6, в пятый – 8, в шестой – 7, в седьмой – 2 (проверьте).
Строим интервальный статистический ряд:
Nинт |
(xi; xi+1) |
ni |
1 |
57,15; 67,566 |
1 |
2 |
67,566;77,982 |
4 |
3 |
77,982; 88,398 |
2 |
4 |
88,398; 98,814 |
6 |
5 |
98,814; 109,23 |
8 |
6 |
109,23; 119,646 |
7 |
7 |
119,646; 130,062 |
2 |
Объем выборки – 30. Сумма интервальных частот тоже равна 30. Следовательно, частоты подсчитаны верно. Гистограмма и эмпирическая функция плотности распределения представлены на рис. 11.
х1 х2 х3
х4 х5 х6
х7 х8 х
Рис. 11. Гистограмма и эмпирическая функция плотности распределения
Пример 3. Найти эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки и построить ее график.
xi |
2 |
5 |
7 |
8 |
ni |
1 |
3 |
2 |
4 |
Решение. Найдем объем выборки: n = 1 + 3 + 2 + 4 = 10.
Наименьшая
варианта x = 2,
следовательно, F*(x) = 0
при x < 2.
Значение события X < 5
наблюдалось 1 раз, то есть F*(x) =
.
Значение события X < 7
наблюдалось 4 раза, поэтому F*(x) =
.
Значение события X < 8
наблюдалось 6 раз, тогда F*(x) =
.
Так как
x = 8
– наибольшая варианта, то F*(x) =
.
Таким образом, получили аналитическое выражение искомой эмпирической функции распределения:
А ее график имеет вид, изображенный на рис. 12.
Рис. 12. График функции распределения