2.8 Двойственные задачи линейного программирования (дзлп).

Рассмотрим пример 2.6 и пример 2.5 и представим их в виде таблице

Задача 1 (исходная)	Задача 2 (двойственная)
F=2x1+3x2→max при ограничениях: x1+3x2≤18 2x1+x2≤16 x2≤5 3x1≤21 x1, x2≥0 Составить такой план выпуска продукции X=(x1, х2) при котором прибыль при реализации будет max. В общем виде задача запишется: n F=∑Cjxj→max, j=1 при ограничениях: n j=1,2…m ∑aijхi≤ bi i=1,2…n j=1	Z=18 y1+16y2+5y3+21y4→min при ограничениях: y1+2y2+3y4≥2 3y1+y2+y3≥3 y1, y2, y3, y4≥0 Найти такой набор цен ресурсов Y=(y1,y2,y3,y4), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальны. В общем виде задачу запишем: m Z=∑ biyi →min, i=1 при ограничениях: m j=1,2…m ∑ aijyi≤ cj i=1,2…n i=1

Из таблице видно, что задачи 1 и 2 обладают следующими свойствами:

1) В задаче 1 ищут max, во 2 ищут min.

2) Коэффициенты целевой ф-ции 1-ой задачи являются свободными членами системы ограничения 2-ой задачи.

3) Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида ≤, а в задаче минимизации вида ≥.

4) Матрицы коэффициентов в системе ограничения обеих задач являются транспонированными друг другу.

Д ля 1 3 18

задачи 1 A₁= 2 1 16

0 1 5

3 0 21

2 3 F

Для

задачи 2 A’₁= 1 2 0 3 2

3 1 1 0 21

18 16 5 21 Z

5) Число неравенств в системе ограничений 1-ой задачи совпадает с числом переменных 2-ой задачи.

6) условие не отрицательности переменных есть в обеих задачах.

Две задачи, обладающие указанными свойствами, называются симметричными взаимно – двойственными задачами.

2.9 Алгоритм составления двойственных злп:

Исходя из вышесказанного логично предложить следующий алгоритм:

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут max целевой функции, то все неравенства системы ограничений привести к виду ≤, а если ищут min – к виду ≥. Для этого неравенства, в которых это требование не выполняется, умножить на (-1).

2. Составить расширенную матрицу системы A₁.

3. Найти матрицу A₁, транспонированную к матрице A_1.

4. Сформулировать двойственную ЗЛП

Этот алгоритм можно проиллюстрировать следующим примером:

Составить задачу двойственную следующей задаче:

F=14x₁+10x₂+14x₃+11x₄→max

Система ограничений:

4 х₁+2х₂+2х₃+3х₄≤35

х₁+х₂+2х₃+3х₄≤30

3х₁+х₂+2х₃+х₄≥40*

х₁≥0

х₂≥0

х₃≥0

х₄≥0

Решение:

Алгоритм	Конкретные ситуации данного алгoритма
1.Все неравенства системы ограничений привести к виду ≤; 2.Составить расширенную матрицу системы А1, в которую включить: - матрицу коэффициентов переменных системы ограничений. - столбец свободных членов. - строку коэффициентов при переменных линейной функции. 3.Найти матрицу A'1 транспонированную к матрице А1. 4.Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы A'1	Приведем третье неравенство к виду: -3х1-х2-2х3-х4≤-40 4 2 2 3 35 А1= 1 1 2 3 30 -3 -1 -2 -1 -40 14 10 14 11 F 4 1 -3 14 2 1 -1 10 A'1 = 2 2 -2 14 3 3 -1 11 35 30 -40 Z Z=35y1+30y2-40y3→min 4y1+y2-3y3≥14 2y1+y2-y3≥10 2y1+2y2-2y3≥14 3y1+3y2-y3≥11 y1≥0; y2≥0; y3≥0

Выполнить самостоятельно:

1. Составить ДЗЛП следующей задачи

F =-x₁+2x₂→max

При ограничении: 2x₁-x₂≥1

-x₁+4x₂≤24

x₁ -x₂≤3

x₁ +x₂≥5

2. Составить ДЗЛП, используя исходные данные таблицы №1. Вариант задания выбирается по номеру зачетной книжки

–предпоследняя цифра - № строки

–последняя цифра - № столбца.