2 .6 Симплекс-метод (см) решения злп

Геометрический смысл симплексного метода состоит в последовательном переходе от одной вершины к соседней, в которых целевая функция принимает лучшие значении до оптимального значения.

В настоящее время СМ используется для компьютерных расчетов, однако не сложные методы можно решать и вручную.

Для реализации СМ необходимо знать 3 основных элемента:

1. способ определения первоначального допустимого базисного решения;

2. правило перехода к лучшему решению;

3. проверка признака оптимальности решении, который состоит в следующем :

- если в выражении целевой функции отсутствуют положительные коэффициенты при неосновных переменных, то решение максимально;

- если отсутствуют отрицательные коэффициенты, то решение минимально.

Для нахождения первоначального базисного решения разобьем переменные на две группы – основные и не основные. При выборе основных переменных на первом шаге не обязательно составлять определитель из их коэффициентов и проверять, равен ли он 0.

Достаточно ввести дополнительные неотрицательные переменные с учетом правила определения знака дополнительных переменных:

Знак «+», если неравенство вида ≤;

Знак «-», если неравенство вида ≥.

Алгоритм вычислительной реализации этих трех элементов рассмотрим на следующем примере.

Пример 2.5.

Решить задачу симплексным методом:

z=18 y₁+16y₂+5y₃+21y₄ →min

при ограничениях:

y ₁+2y₂+3y₄≥2

3y₁+y₂+y₃≥3

y₁, y₂, y₃, y₄≥0

Шаг 1:

Введем дополнительные переменные y₅, y₆ со знаком «-», т. к. «≥» получим систему уравнений в канонической форме:

y₁+2y₂+3y₄-y₅=2

3y₁+y₂+y₃-y₆=3

Если на первом шаге в качестве основных переменных взять дополнительные переменные y₅, y₆, тогда:

y₁=y₂=y₃=y₄=0, => y₅=-2; y₆=-3.

У₁=(0,0,0,0,-2,-3) – недопустимое базисное решение.

Шаг 2:

В данном случае в качестве основных удобно взять переменные y₃, y₄ в соответствии с правилом выбора основных переменных, сформулированным выше.

0 3 ≠0

1 0

y₃, y₄ - основные переменные.

y₁=y₂=y₆=y₅=0 неосновные переменные;

Выразим основные переменные через неосновные:

y₃=3-3y₁-y₂+y₆

y₄=2/3-y₁/3-2/3y₂+y₅/3

y₃=3, y₄=2/3;

Базисное решение У₂=(0,0,3,2/3,0,0) – допустимое решение.

Выражаем линейную функцию через неосновные переменные:

z=18y₁+16y₂+5(3-3y₁+y₆-y₂)+21(2/3-y₁/3-2/3y₂+y₅/3)= 29-4y₁-3y₂+7y₅+5y₆

Критерии оптимальности не выполняются, т.к. имеются отрицательные коэффициенты при y₁ и y₂, поэтому Z₁ =29 – не является минимальным.

Так как функцию Z можно уменьшить за счет перевода в основные любой из переменных у₁ и у₂, имеющих в выражении для Z отрицательные коэффициенты. Так как у имеет больший по абсолютному значению коэффициент, то начнем с этой переменной.

Шаг 3:

y₁, y₄ - основные переменные.

y₂, y₃, y₅, y₆=0 – неосновные переменные;

После преобразований:

y₁=1-1 y₂ - 1 у₃+1 у₆;

3 3 3

y₄=1 -5 у₂+1 у₃+1 у₅-1у₆;

3 9 9 3 9

z=25-5 y₂+1 у₃+1 у₅-1 у₆;

3 9 3 9

y₃=(1;0;0;1/3;0;0) – допустимое базисное решение.

Z(y₃)=25 – не является min, так как имеется отрицательный коэффициент при y₂, поэтому переменную y₂ переводим в основную .

Шаг 4:

y₁,y₃ – основные переменные.

y₃, y₄, y₅, y₆=0 – неосновные переменные.

у₁=4 -2 у₃+5 у₄-1 у₅+2 у₆

5 3 3 5 5

y₂=3+1 у₃-9 у₄+3 у₅-1 у₆

5 5 5 5 5

y₃= (4/5;3/5;0;0;0;0) – допустимое базисное решение

z=24+y₃+3y₄+6y₅+4y₆→min

Решение оптимальное, так как в выражении нет отрицательных коэффициентов при неосновных переменных.

Z(y₄)=24=min