Выполнить самостоятельно.

В соответствии с индивидуальным заданием №1 решить задачу максимизации с использованием симплексных таблиц. Вариант задания выбирается по номеру зачетной книжки:

-предпоследняя цифра - № столбца

-последняя цифра – № строки

Пример: Симплексным методом решить задачу максимизации.

F(x)=5x₁-x₂→max

2x₁-x₂+x₃≤3

3x₁+2x₂≤6

x₁≥0; x₂≥0

1. Переведем систему ограничений в канонический вид, введя выравнивающие (базисные) неизвестные – x₃ и x₄.

Задача принимает следующий вид:

2x₁-x₂+x₃=3

3x₁+2x₂=6

x₁=x₂=x₃=x₄=0

F-5x₁+x₂=0

2. Заполняем первую симплексную таблицу. В ней x₃, x₄ – основные переменные (базис).

Таблица 1.

Базис	Свободный член	Переменные				Оценочные отношения
		х1	х2	х3	х4
x3	3	2	-1	1	0	3/2
x5	6	3	2	0	1	2
F	0	-5	1	0	0

← разрешающая строка

↑

разрешающий столбец

3. Проверяем выполнение критерия на max – первый опорный план не оптимальный, т.к. в F коэффициент при х₁<0

4. Выбираем наибольший по модулю отрицательный коэффициент F, который определяет разрешающий столбец.

5. Делим свободные члены на коэффициенты разрешающего столбца (определяем оценочные отношения). Выбираем разрешающую строку, где это отношение минимально

Min (3, 2)= 3

2. 2

Разрешающий элемент будет а₁₁=2

Для построения таблицы 2 в качестве основной переменной выбираем х₁, т.к. она образует разрешающий столбец таблицы 1.

Таблицы 2.

Базис	Свободный член	Переменные				Оценочные отношения
		х1	х2	х3	х4
х1	3/2	1	-1/2	1/2	0	-3
х4	3/2	0	7/2	-3/2	1	3/7
F	15/2	0	-3/2	5/2	0

← разрешающая строка

↑

разрешающий столбец

Построение таблицы №2.

1. Заменим переменные в базисе с х₃ на х₁.

2. Делим элементы разрешающей строки (табл.1) на разрешающий элемент, результаты занесем в строку х₁ в табл. №2.

3. В остальных клетках разрешающего столбца (табл. 1) записываем 0.

4. Остальные клетки заполняем по правилу прямоугольника

НЭ=СТЭ-(АхВ)/РЭ

СТЭ А

В РЭ

5. Критерий эффективности опять не выполнен, т.к. F имеет два коэффициента -3 < 0

2

Построение таблицы №3

Таблицы 3.

Базис	Свободный член	Переменные				Оценочные отношения
		х1	х2	х3	х4
х1	12/7	1	0	2/7	1/7
х2	3/7	0	1	-1/7	2/7
F	57/7	0	0	13/7	3/7

Из таблицы 3 видно – критерий оптимальности выполнен.

Оптимальные базисные решения Х^*=(12, 3,0,0)

7. 7

F=5x₁-x₂=5x12- 3=57

7 7 7

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ №1

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
0 1	f(x)=3x1-2x2; 2x1+x2≤2; x1+2x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=4x1+8x2; x1+x2≤3; x1+2x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=-4x1+8x2; 3x1+5x2≤15; x1-x3≤1; x1,x2≥0;
2 3	f(x)=3x1-2x2; -x1+2x2≤2; 2x1-x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=-x1+6x2; 4x1+3x2≤12; -x1+x2≤1; x1,x2≥0;	f(x)=-x1+6x2; x1+x2≤3; -2x1+x2≤2; x1,x2≥0;
4 5	f(x)=x1+6x2; 3x1+4x2≤12; -x1+x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=2x1+6x2; 3x1+4x2≤12; x1+2x2≤2; x1,x2≥0;	f(x)=8x1+12x2; 2x1+x2≤4; 2x1+5x2≤10; x1,x2≥0;
6 7	f(x)=8x1+12x2; -3x1+2x2≤0; 4x1+3x2≤12; x1,x2≥0;	f(x)=3x1-2x2; 2x1+x2≤2; 2x1+3x2≤6; x1,x2≥0;	f(x)=6x1+4x2; x1+2x2≤2; -2x1+x2≤0; x1,x2≥0;
8 9	f(x)=6x1+4x2; 3x1+2x2≤6; 3x1+x2≤3; x1,x2≥0;	f(x)=8x1+6x2; -x1+x2≤1; 3x1+2x2≤6; x1,x2≥0;	f(x)=8x1+6x2; -x1+x2≤2; 3x1+4x2≤12; x1,x2≥0;

Пример. Решить следующую задачу максимизации

F(x)=5x₁-x₂→max

2x₁-x₂+x₃≤3

3x₁+2x₂≤6

x₁≥0; x₂≥0

Запишем систему в каноническом виде

1. 2x₁-x₂+x₃=3

2. 3x₁+2x₂=6

3. x₁=0; x₂=0

Решение. В системе координат Х₁ОХ₂ построим ОДР.

И з первого уравнения:

При Х₁=0 X₂=-3 → (X₁,X₂)=(0,-3) прямая (1)

При Х₂=0 Х₁=3 → (X₁,X₂)=(3, 0)

2 2

И з второго уравнения:

При Х₁=0 X₂=3 → (X₁,X₂)=(0,3) прямая (2)

При Х₂=0 Х₁=2 → (X₁,X₂)=(2, 0)

Из условия (3) (Х₁, Х₂)=(0,0) Х₁=0 – прямая (3)

Х₂=0 – прямая (4)

Для определения с какой стороны прямых ОДР все точки удовлетворяют неравенствам возьмем точку (1,1). Таким образом, ОДР лежит внутри АВСD.

Для определения точки выхода, строим прямую:

F(x)=5x₁-x₂=0

5x₁=x₂→ x₁=x₂=0 при x₁=1, x₂=5

Строим нулевую линию уровня целевой функции.

Строим нормальный вектор q (5.-1)

Передвигая линию уровня целевой функции параллельно себе, по вектору q, фиксируем ее крайнее положение (т.В), которая принадлежит прямым (1) и (2).

2x₁-x₂+x₃=3

3x₁+2x₂=6

x₁=12 x₂=3, т.е. Х^*=(12, 3)

7 7 7 7

F(Х^*)=5х12 -3=57

7 7 7