- •Методы оптимизации
- •Методы оптимизации
- •1. Основные понятия и определения.
- •1.1 Место и роль методов оптимизации при моделировании и решении прикладных задач.
- •1.2 Общая постановка прикладной задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных методов и моделей.
- •1.4 Основные этапы построения оптимизационных моделей.
- •2. Линейное программирование.
- •2.1 Пример постановки задачи линейного программирования.
- •2.2 Общая постановка задачи линейного программирования.
- •2.3 Методика составления экономико-математических моделей.
- •2.4 Геометрическая интерпретация решения злп.
- •Выполнить самостоятельно. Задание №1.
- •2 .6 Симплекс-метод (см) решения злп
- •2.7 Отыскание опорного и оптимального решения злп с использованием табличного алгоритма с заменой базисных переменных.
- •Выполнить самостоятельно.
- •2.8 Двойственные задачи линейного программирования (дзлп).
- •2.9 Алгоритм составления двойственных злп:
- •3. Теорема двойственности
- •3. Целочисленное программирование.
- •3.1 Постановка задачи целочисленного программирования (зцп)
- •3.2 Метод отсечения (метод Гомори).
- •3.3 Алгоритм решения злцп
- •4. Нелинейное программирование.
- •4.1Классические методы оптимизации.
- •4.2 Метод множителей Лагранжа.
- •5. Методы направленного поиска экстремумов.
- •5.1 Методы определения экстремума унимодальной функции.
- •5.2 Методы определения локального экстремума функции нескольких переменных
4. Нелинейное программирование.
Во многих экономических моделях исследования зависимости между постоянными и переменными факторами не всегда оказываются линейными. В этом случае возникает задача нелинейного программирования. В нелинейном программировании существует несколько методов определения экстремумов. Основным из них является:
- классические методы оптимизации
4.1Классические методы оптимизации.
Различают локальные, глобальные и условные экстремумы.
а) Локальный экстремум.
Необходимые условия экстремума: если в точке х* функция z=f(x) имеет экстремум, то частные производные в этой точке равны 0.
fxi(x*)=0, i = 1,2..n ( количество переменных).
Точка х* , в которой все частные производные функции z=f(x) равны 0, называется стационарной точкой.
Достаточные условия экстремума:
Для функции 2-х переменных z=f(x1,x2) cсуществуют 4 частные производные II порядка, из них две смешанные производные равны.
f′′х12(x1,x2);
f′′х1х2(x1,x2);
f′′х2х1(x1,x2);
f′′х22(x1,x2);
Найдем значения частных производных II порядка в стационарной точке х0(х10,х20)
а11=f′′х12(х0)
а12=f′′х1х2(х0)
а21=f′′х2х1(х0)
а22= f′′х22(х0)
Составим определитель, составленный из аij
∆= а11 а12 =а11а22-а21а12
а21 а22
Тогда достаточные условия экстремума функции 2х переменных имеют вид:
а)Если ∆>0 и а11<0 (а22<0), то функция в точке х0 имеет max.
Если ∆>0 и а11>0 (а22>0), то функция в точке х0 имеет min.
б)Если ∆<0, то экстремума нет.
в)Если ∆=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.
Пример: Исследовать на экстремум функцию
Z=x14+x24-x12-2x1x2-x22
Находим частные производные:
Z ′(x1)= 4x13- 2x1-2x2
( * )
Z ′(x2) = 4x23- 2x1-2x2
Приравниваем частные производные к 0
4x13- 2x1-2x2=0 (1)
4x23- 2x1-2x2=0 (2)
Вычитая из (1)-(2) получим 4x13-4x23 =0 х1=х2 из (1) x13-x1=0, х1=0 и х1= ±1
Имеем 3 стационарные точки х1=(0,0), х2=(1,1),х3=(-1,-1)
Найдем вторые частные производные, используя(*)
Z″ x12=(4x13- 2x1-2x2)′х1 =12x12-2
Z″ x1x2=(4x13- 2x1-2x2)′ x2 = -2
Z″ x2x1=(4x13- 2x1-2x2)′ x3 = -2
Z″x2 2 =(4x13- 2x1-2x2)′x4 = 12x2 -2
В т.x′1=(0,0), a11= -2, a12= a21= -2 , a22= -2
∆ = -2 -2 =0
-2 -2
Вопрос об экстремумах остается открытым (такая точка называется седловиной)
Вт. x′2=(1,1) и В т x3=(-1,-1)
a11= 10, a12= a21= -2 , a22= 10
∆ = 10 -2 =96
-2 10
функция в этих точках имеет min, так как ∆>0, a11>0 zmin= 14+14-12-2∙1∙1-12= -2
б)Глобальный экстремум (наибольшее, наименьшее значение функции).
Если область D замкнута и ограничена, то дифференцируемая функция z=f(x) достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения в стационарной точке или в граничной точке области (теорема Вейерштрасса) следовательно, чтобы найти глобальный экстремум функции z в области D необходимо:
1)Найти все стационарные точки внутри области D и вычислить функции в них.
2)Исследовать функции на экстремум на границе области D.
3)Сравнить значения функции, полученные в пункте 1 и 2. Наибольшее или наименьшее из этих чисел и будет глобальным экстремумом.
в)Условный экстремум.
Пусть необходимо найти экстремум функции z=f(х1,х2,…,хn) при условии, что эти переменные (х1,х2,…,хn) удовлетворяют уравнению φ(х1,х2,…,хn)=0, которое называется уравнением связи. Говорят, что в точке х0(х01,х02,…,х0n), удовлетворяющему уравнению связи, функция z=f(x) имеет условный max (min), если f(х0)≥ f(x) (f(х0)≤ f(x)) имеет место для всех точек х, координаты которых удовлетворяют уравнению связи.
Пример.
Дана производственная функция z=x12x22(4-x1-x2) (1).
Цены С1=1, С2=2 и издержки b=4.
Необходимо найти х1 и х2, удовлетворяющие уравнению х1+2х2=4 (2) (уравнение связи) превращающее производственную функцию (1) в max.
x2
Уравнение (2) и условие неотрицательности на плоскости х1Ох2 образуют замкнутую ограниченную област. (см. рис.)
Согласно теореме Вейерштрасса max функции может быть достигнут либо внутри этого отрезка , либо в граничных точках А(4;0) и В(0;2).Следовательно необходимо найти условный экстремум функции (1), если уравнение связи(2).
Из (2) находим:
х1=4-2х2 тогда z=(4-2х2)2x2(4-4+2x2-x2), z=4(2-х2)2x22
Найдем глобальный экстремум z′=16(2-x2)x2(1-x2)=0, стационарная точка x2=0; x2=1; x2=2; значение функций в этих точках z(0)=0; z(1)=4; z(2)=0;
Максимальный объем производства zmax=4 единицы, достигается при условии, что затраты х1=2 и х2 = 1 ед.