3. Целочисленное программирование.

3.1 Постановка задачи целочисленного программирования (зцп)

ЗЦЛП формируется следующим образом:

Найти такое решение (план) Х=(х₁х₂… х_n), при котором линейная ф-ция:

_n

Z=∑c_jx_j принимает max или min значение, при ограничениях:

_j=1

_n

∑ a_ijх_j=b_i, i=1,2, …m;

_j=1

x_j≥0, j=1,…n; x_j- целые числа.

По смыслу решение экономических задач должны выражаться в целых числах (кол-во единиц неделимой продукции, станков, судов). Для решения ЗЦП используется ряд методов. Самый простой - обычный метод линейного программирования. В случае, если компоненты оптимального решения нецелочисленные, их округляют до ближайших целых чисел, однако округление может привести к далекому от оптимального решению, поэтому используют следующие методы:

- методы отсечения;

- комбинаторные;

- приближенные;

3.2 Метод отсечения (метод Гомори).

Сначала задача решается без условия целочисленности, если полученный план целочисленный, то задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

- оно должно быть линейным;

- должно отсекать найденный нецелочисленный план;

- не должно отсекать ни одного целочисленного плана;

Такое дополнительное отсечение называется правильным отсечением.

Алгоритм решения ЗЛЦП, предложенный Гомори, основан на симплексном методе и использует способ построения правильного отсечения.

Неравенство, сформированное по i-тому уравнению системы ограничения оптимального решения, имеет вид:

β_i - α_im+1 x_m+1-…- α_m x_n≤0 (1),

где {β_i}, { α_im+1}, { α_m} – не целые компоненты коэффициентов.

Ц елой частью числа а называется наибольшее число [α], не превосходящее α; дробной частью числа а является числа α =α-[α]. Например для

α =2⅓; [α]=2, α =2⅓ -2=1/3,для

α = -2⅓; [α]= -3, α = -2⅓-(-3)=2/3

3.3 Алгоритм решения злцп

1.Симплексным методом решить задачу без учета условия целочисленности, если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования.

2.Если среди компонент оптимального решения есть нецелые, то выбрать компоненту с наибольшей целой частью и сформировать правильное отсечение.

3.Неравенство, определяющее правильное отсечение введением дополнительной, неотрицательной целочисленной переменной, преобразовать в равносильное уравнение и включить его в систему ограничений.

4.Полученную расширенную задачу решить симплексным методом, если оптимальный план будет целочисленным, то задача ЛЦП решена, в противном случае вернуться к пункту 2 алгоритма.

Пример: При решении некоторой оптимизационной задачи симплексным методом получено некоторое базисное решение:

х₁=2 – 1х₄ + 4х₅

3 3 3

х₂=8 – х₅

х₃=18+х₄+х₅

Z=25 1 – 2x₄ – 1x₅

3 3 3

X=(2; 8; 18; 0; 0) Z=25 1

3 3

Это базисное решение оптимизировано.

Однако решение Х не удовлетворяет условию целочисленности, т.к. по первому уравнению с переменной x₁=2/3-1/3x₄+4/3x₅ , получившей нецелочисленное значение в оптимальном решении(2/3).

С оставляем правильное отсечение, в виде дополнительного ограничения.

2/3 + 1/3 х₄– 4/3 х₅≤0 (1)

Обращаем внимание на то, что берем дробную часть свободного члена с тем же знаком, который он имеет в уравнении, а дробные части коэффициентов при не основных переменных х₄ и х₅ – с противоположными знаками.

Так как дробные части:

2 /3 = 0+2/3 =2/3

1 /3 = 0+1/3 =1/3

- 4/3 = -2+2/3 =2/3,

тогда последнее неравенство в соответствии c (1) запишется в виде:

2/3+1/3х₄-2/3х₅≤0 (2)–правильное отсечение.

Введя дополнительную целочисленную переменную х₆ ≥ 0, получим равносильное неравенству (2) ,уравнение:

2/3+1/3х₄-2/3х₅ +х₆=0

Включаем это уравнение в систему ограничений, после чего повторяем алгоритм решения задачи симплексным методом, применительно к расширенной задаче. Дополнительное уравнение вводится в систему, полученную на последнем шаге решения задачи(без условия целочисленности).