3. Теорема двойственности

Первая теорема двойственности

Устанавливает связь между оптимальными решениями ДЗЛП.

Если одна из взаимно свойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другие, причем оптимальные значения их линейных функций равны:

F_max=Z_min или F(X^*)=Z(Y^*)

Если линейная функция одной из задач не ограничена (F=∞), то по условию другой задачи противоречивы.

Рассмотрим пример подтверждающий справедливость I теоремы.

Задача 1. Даны 2 взаимно двойственные задачи

I F=2x1-3x2→max При ограничениях: x1+3x2≤ 18 2x1+x2≤16 x2≤5 3x1≤21 x1≥0 x2≥0

II Z=18y1+16y2+5y3+21y4→min При ограничениях: y1+2y2+3y4 ≥2 3y1+y2+y3≥3 yi≥0 (i=1,2,3,4)

Задача I об использовании ресурсов и двойственная ей задача II были решены ранее (§ 2.6, 2.7) получены оптимумы, F_max=24 и Z_min=24, т.е. заключение I теоремы двойственности верно.

Экономический смысл теоремы

План производства X^*=(x₁^*,x₂^*…x_n^*) и набор цен Y^*=(y₁^*,y₂^*…y_m^*) оказываются оптимальными только тогда, когда прибыль от продукции, найденная при “внешних” ценах c₁,c₂…c_n, равны затратам на ресурсы по “внутренним ” (определяемым из решения задачи) ценам, для всех же других планов, прибыль от продукции всегда меньше (или равна) затрат на ресурсы, т.е. F(X)≤Z(Y).

Вторая теорема двойственности

Пусть даны две взаимно двойственные задачи (табл. 1). Преобразуем эти две задачи для решения симплексным методом. Тогда системы ограничений каждой из задач будут

a_ij x_j + x_n+i = b_i j=1,2…n

a_ij y_j - y_m+j = c_j i=1,2…m

установим соответствие между первоначальными переменными одной из двойственных задач и дополнительными переменными другой задачи. См табл.1

Переменные исходной задачи I
первоначальные	дополнительные
x1 x2 … xi … xn ↕ ↕ ↕ ↕ ym+1 ym+2 … ym+i …ym+n	xn+1 xn+2 … xn+j … xn+m ↕ ↕ ↕ ↕ y1 y2 … yj … ym
дополнительные	первоначальные
Переменные двойственной задачи II

Вторая теорема двойственности:

Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения.

Справедливость I теоремы двойственности подтверждается решением задачи 1

На основании соответствий в табл. 1 установим следующие соотношения

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕

y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆

Обе задачи решены симплексным методом. На последнем шаге решения каждой задачи получено:

Исходная задача I F=24+4/5x3-3/5x4 F(X*)=Fmax=24 При оптимальном базисном решении X*=(6,4,0,0,1,3)

Двойственная задача II Z=24+y3+3y4+6y5+4y6 Z(Y*)=Zmin=24 При оптимальном базисном решении Y*=(4/5,3/5,0,0,0,0)

Компоненты оптимального решения двойственной задачи y_i^*=4/5, y₂^*=3/5, y₃^*=0, y₄^*=0, y₅^* =0, y₆^*=0 равны (по абсолютной величине) коэффициентом при соответствующих переменных линейной функции

F=24-4/5x₃-3/5x₄-0x₅-0x₆-0x₁-0x₂,

а компоненты оптимального решения исходной задачи x_i^*=6, x₂^*=4, x₃^*=0, x₄^*=0, x₅^* =1, x₆^*=3 равны коэффициентам при соответствующих переменных линейной функции II:

F=24+6y₅+4y₆+0y₁+0y₂+1y₃+3y₄

Компоненты оптимального решения двойственной задачи называются оптимальным оценкам исходной задачи.