- •Методы оптимизации
- •Методы оптимизации
- •1. Основные понятия и определения.
- •1.1 Место и роль методов оптимизации при моделировании и решении прикладных задач.
- •1.2 Общая постановка прикладной задачи.
- •1.3 Классификация оптимизационных методов и моделей.
- •1.4 Основные этапы построения оптимизационных моделей.
- •2. Линейное программирование.
- •2.1 Пример постановки задачи линейного программирования.
- •2.2 Общая постановка задачи линейного программирования.
- •2.3 Методика составления экономико-математических моделей.
- •2.4 Геометрическая интерпретация решения злп.
- •Выполнить самостоятельно. Задание №1.
- •2 .6 Симплекс-метод (см) решения злп
- •2.7 Отыскание опорного и оптимального решения злп с использованием табличного алгоритма с заменой базисных переменных.
- •Выполнить самостоятельно.
- •2.8 Двойственные задачи линейного программирования (дзлп).
- •2.9 Алгоритм составления двойственных злп:
- •3. Теорема двойственности
- •3. Целочисленное программирование.
- •3.1 Постановка задачи целочисленного программирования (зцп)
- •3.2 Метод отсечения (метод Гомори).
- •3.3 Алгоритм решения злцп
- •4. Нелинейное программирование.
- •4.1Классические методы оптимизации.
- •4.2 Метод множителей Лагранжа.
- •5. Методы направленного поиска экстремумов.
- •5.1 Методы определения экстремума унимодальной функции.
- •5.2 Методы определения локального экстремума функции нескольких переменных
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Г.С. БОРОВСКИЙ
Методы оптимизации
Курс лекций
Перевод в электронный вид осуществляли
студенты факультета ИСТАС
Горин А.С.
Овсянникова М.В.
Москва 2009 г.
Методы оптимизации
1. Основные понятия и определения.
1.1 Место и роль методов оптимизации при моделировании и решении прикладных задач.
Исследование операций – научная дисциплина, занимающаяся разработкой и практическим применением методов эффективного управления различными организационными системами.
Цель исследования операций – количественное обоснование принимаемых решений по организации управлений.
При решении задач управления применение методов исследования предполагает:
- изучение взаимосвязей и установление критериев эффективности, позволяющих оценивать преимущество того или иного варианта;
- постановку задачи принятия решения в сложных ситуациях или в условиях неопределенности.
К задачам исследования можно отнести задачи об использовании ресурсов (планирование производства), о смесях, об использовании мощностей (загрузке оборудования), о раскрое материалов, транспортную задачу и другие, в которых требуется найти решение, когда некоторый критерий эффективности (например, прибыль, выручка, затраты ресурсов и т.п. ) принимает максимальное и минимальное значение.
В каждом случае речь идет о каком-то управляемом мероприятии (операции), преследующем определенную цель. В каждой задаче заданы некоторые условия, в рамках которых необходимо принять решение.
Основными понятиями являются:
Операция – любое управляемое мероприятие, направленное на достижение целей. Результат операции зависит от способов ее проведения (от выбора некоторых параметров).
Решение – определенный выбор параметров.
Оптимальное решение – те решения, которые предпочтительнее других.
Модель операции – описание операции с помощью математического аппарата.
Эффективность операции количественно выражается в виде критерия эффективности - целевой функции.
Например:
- в задаче об использовании ресурсов критерием эффективности является прибыль от реализации произведенной продукции, которую надо максимизировать;
- в задаче транспортного типа критерием эффективности является суммарные затраты на перевозку грузов, которые надо минимизировать.
1.2 Общая постановка прикладной задачи.
Все факторы, входящие в описание модели можно разделить на две группы: внешние факторы (условия проведения операции), на которые мы не можем влиять а1,а2,а3,…;
Зависимые факторы (элементы решений), которые мы можем выбирать х1,х2,х3,…
Величина критерия эффективности выражается некоторой функцией, называемой целевой функцией. Она зависит от факторов обеих групп и записывается в виде:
z = f ( x1 x2 … a1 a2 …)
Оптимизационная задача формулируется в общем виде.
Найти переменные х1,х2,…хn, удовлетворяющие системе неравенств (уравнений) φj (x1 x2…xn) ≤ bj, где j =1, 2, …m, и обращают в max или min целевую функцию:
z = f (x1, x2,…a1, a2,…) → max (min).
1.3 Классификация оптимизационных методов и моделей.
По характеру взаимосвязи между переменными: линейные и нелинейные.
По характеру изменения переменных: непрерывные и дискретные.
По учету факторов времени: статические и динамические.
По наличию информации о переменных: задачи полной определенности (детерминированные) и задачи в условиях неполной определенности.
По числу критериев: простые однокритериальные задачи и многокритериальные задачи.
Если критерий эффективности и система ограничений линейны, такая задача является задачей линейного программирования.
Если критерий эффективности и система ограничений являются целыми числами, то эта задача называется задачей целочисленного линейного программирования, а если система ограничений и целевая функция заданы нелинейными функциями, то имеем задачу нелинейного программирования.
Если целевая функция и ограничения зависят от параметров, то задача называется параметрическим программированием.
Если целевая функции и система ограничений носят случайный характер, то получим задачу стохастического программирования.
Если точный оптимум найти алгоритмическим путем невозможно, то прибегают к методам эвристического программирования.