1.4 Основные этапы построения оптимизационных моделей.

Основные этапы построения оптимизационных моделей можно представить в виде схемы:

Последовательность моделирования представляет собой итерационную процедуру, которая предусматривает проведение коррекции после каждого этапа и возможность вернуться к любому из предшествующих, а затем продолжить анализ.

2. Линейное программирование.

2.1 Пример постановки задачи линейного программирования.

В качестве примера рассмотрим задачу об использовании ресурсов.

Пример.

Для изготовления 2-х видов продукции Р1 и Р2 используют 4 вида ресурсов S1, S₂, S3,S4. Запасы ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице:

_{X1, X2 – число единиц продукции.}

Прибыль, получаемая от единицы продукции Р1 и Р₂ соответственно равны С₁=2 и С₂=3.

Так как потребление ресурсов S1, S₂, S3,S4 не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

х₁ + 3х₂ ≤ 18

2х₁ + х₂ ≤ 16 (2.1) – система ограничений.

х₂ ≤ 5

3х₁ ≤ 21

По смыслу задачи переменные

x₁≥0, x₂≥0 (2.2)

Суммарная прибыль составит

F = 2x₁ + 3x₂ →max (2.3)

Итак, экономико-математическая модель задачи найти план выпуска продукции, Х (х₁,х₂) удовлетворяющий системе ограничений (2.1) и условию (2.2), при которых функция (2.3) принимает максимальное значение.

Задачу легко обобщить на случай n видов продукции с использованием m видов ресурса.

2.2 Общая постановка задачи линейного программирования.

Обозначим Х_j (j = 1,2, … , n) –число единиц продукции P_j;

b_i (i = 1,2,…, m) запас ресурса S_i;

a_ij – число единиц ресурса S_i;

с_j – прибыль от единицы продукции P_j.

Тогда кратко общую задачу линейного программирования можно представить в виде:

_n

∑ a_ijx_j≤b_i (2.4)

^j=1

x_j≥0 (2.5)

_n

F=∑ c_jx_j →max (min) (2.6)

^j=0

Оптимальным решением задачи линейного программирования называется решение Х=( x₁ x₂ ...x_n) системы ограничений (2.4), удовлетворяющая условии. (2.5), при котором целевая функция (2.6) принимает экстремальное значение.

Задача линейного программирования называется стандартной, если система ограничений состоит из одних лишь неравенств.

Линейная задача называется канонической, если система ограничений состоит из одних уравнений-равенств.

2.3 Методика составления экономико-математических моделей.

Примеры прикладных ЗЛП.

Пример 2.1

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует 3 вида сырья. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемые на изготовление единицы продукции, а также прибыль, получаемая от единицы продукции, приведены в таблице:

Вид сырья	Нормы расхода сырья на ед. изделия.		Общее кол-во сырья
	А	В
1	12	4	300
2	4	4	120
3	3	12	252
Прибыль с
одного изде-	30	40
лия

Решение.

_{X1, X2}– число единиц видов изделий соответственно А и В.

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данной задаче
1	Написать общую ЗЛП
2	Записать число видов изделий	n = 2
3	Записать число видов сырья	m = 3
4	Записать аij	а11=12; а12=4; а21=4; а22=4; а31=3; а32=12
5	Записать величины bi	b1=300; b2=120; b3=252
6	Записать величины сj	с1=30; с2=40
7	Записать поставленную экономико-математическую задачу.	12x1 + 4x2 ≤ 300 4x1 + 4x2 ≤ 120 3x1 + 12x2 ≤ 252 F = 30x1 + 40x2 → max

_{Выполнить самостоятельно:}

Пример2.2

Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов: I и II. 1 кг I корма стоит 80 руб. и содержит 1 ед.жиров, 3 ед.белков и 1 ед.углеводов. 1 кг II корма стоит 10 руб. и содержит 3 ед.жиров, 1 ед.белков и 8 ед.углеводов. Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жирами не менее 6 ед., белками не менее 9 ед., углеводами не менее 8 ед.

_{Представим данные задачи в виде таблицы.}