43. Бесконечно большая функция.

Функция g(x) называется бесконечно большой при x→a, если lim_x→ag(x)=∞ (аналогично при x→∞).

44. Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией для функций, не принимающих значение 0, очень простая: такая функция f(x) является бесконечно малой в точке а тогда и только тогда, когда ф-ция 1/f(x) является бесконечно большой в точке а.

45. Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.

Пусть α(х) и β(х)— две функции, бесконечно малые в точке х=а. Если , то говорят, что α(х) более высокого порядка малости, чем β(х) и обозначают α (х) = о(β(х)). Если же , то β(х) более высокого порядка малости, чем β(х); обозначают β(х)=о(α (х)) . Бесконечно малые функции α(х) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка малости, если , обозначают α(х) = о(β(х)).  И, наконец, если  не существует, то бесконечно малые функции α(х) и β(х) несравнимы.

46. Эквивалентные бесконечно малые.

Бесконечно малые в точке а функции α(х) и β(х) называются эквивалентными в точке а, если lim_x→aα(x)/β(х)=1.

Обозначение для эквивалентныхбесконечных малых функций: α(х) ~ β(х).

Таким образом, первый замечательный предел означает, что функции sinx эквивалентна х в точке 0, sinx~x в точке 0.

Буквальный русский перевод слова «эквивалентность – это «равночильность».

47. Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными.

Если функция f(x) эквивалентна функции f₁(x), а функция g(x) эквивалентна g₁(x) в точке а, то lim_x→af(x)/g(x)= lim_x→a f₁(x)/g₁(x).

48. Непрерывность функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке Х₀, если точка Х₀ принадлежит области определения функции f(x), x₀єD(f), и lim_x→x0f(x)=f(x0), т.е. предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке. Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точке х0, если значение функции в точке х0 совпадает с её естественным значением в этой точке.

49. Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке.

Функция f(x) непрерывны в точке х₀ тогда и только тогда, когда lim_∆x→0∆f=0, т.е. lim_∆x→0[f(x₀+∆x)-f(x₀)]=0.

В самом деле, если положить ∆x=х-х₀, то равенства lim_x→x0f(x)=f(x₀) можно переписать в виде равенства lim_∆x→0f(x₀+∆x) = f(x₀), которое равносильно равенству lim_∆x→0[f(x₀+∆x)-f(x₀)]=0.

50. Односторонняя непрерывность.

Если в D(f)1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то получим определение односторонней непрерывности ф-ии.

Ф-ия называется непрерывной в точке х0 справа, если правосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

Ф-ия называется непрерывной в точке х0 слева, есди левосторонний предел совпадает со значением ф-ии.

Для непрерывности в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна слева и справа в этой точке.

51. Непрерывность функции на промежутке.

Ф-ция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она определена на этом отрезке, непрерывна в каждой точке внутри этого отрезка, а односторонние пределы функции f(x) на концах отрезка существуют и совпадают с значениями функции на концах отрезка, lim_x→a+0f(x)=f(a), lim_x→b+0f(x)=f(b).