33. Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при х, стремящемся к а), если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0, такое, что |f(x)-A|<ε, для всех х, удовлетворяющих условию |х-а|<δ, х≠а. Обозначение lim_x→аff(x) = А. у

У=f(x)

А+ε

А

А-ε

А-δ а а+δ х

34. Первый замечательный предел.

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

35. Односторонние пределы.

Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (или пределом справа).

36. Предел функции при х→±∞.

Пусть ф-ция f(x) определена при |х|>b, где b некоторое положительное число. Число А называется пределом ф-ции f(x) при x, стремящемся к ∞, если для любого ε>0 существует N=N(ε)>0, такое, что |f(x)-A|<ε, для всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>N. Обозначение lim_x→∞f(x) = A. В частности, если неравенство |f(x)-A|<ε выполняется только для x>N (или только для х<-N), то пишут lim_x→∞f(x) = A (соответственно, lim_x→-∞f(x) = A).

37. Второй замечательный предел. Следствия.

  Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

      (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывет, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

     (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому       (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3):   .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для любого x, т.е. докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где n = [x] - это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для любого x.   

Следствия

Доказательство следствия

Следствия из второго замечательного предела: