27. Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.

Число а называется пределом последовательности {Xn}, если для любого ε>0 найдётся такой номер n₀, что |x_n-a|<ε для всех n≥n₀.

Это записывается lim_n→∞Xn=a или, если ясно по какому из индексов рассматривается предел, limx_n=a.

Последовательность имеющая предел называется сходящейся.

Геом смысл: В любой окрестности числа а содержатся все элементы последовательности, за исключением их конечного числа.

28. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Последовательность предел которой стремиться к 0 - бесконечно малая.

Последовательность предел которой стремиться к бесконечности - бесконечно большая.

29. Расходящиеся последовательности.

Последовательность (a_n) называется расходящейся, если она не имеет предела, то есть найдется такое положительное число , что для любого M найдется натуральное n > M для которого . Геометрически расходимость последовательности a₁, a₂, …, a_n, … означает, что для любого числа a найдется интервал , вне которого находится бесконечное число членов последовательности, то есть вне интервала найдутся члены последовательности со сколь угодно большими номерами.

30. Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).

Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел (т.е. сходится).

31. Число е. Натуральные логарифмы.

е = 2,7182818284…

Последовательность x_n=(1+1/n)ⁿ возрастающая и все её элементы ограничены числом 3. Поэтому по теореме Вейерштрасса эта последовательность сходится. Предел этой последовательности обозначается е, lim_n→∞(1+1/n)ⁿ=e – определение числа е.

Логарифмы по основанию е называются натуральными (и обозначаются ln x), а число е также основанием натуральных логарифмов.

32. Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .

Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

,

причем - бесконечно малая последовательность (как сумма бесконечно малых).◄

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем .

Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

.

Последовательности бесконечно малые как произведение бесконечно малой на ограниченную и произведение бесконечно малых последовательностей. Тогда бесконечно малая как сумма бесконечно малых..◄

Для доказательства теоремы о пределе частного нам понадобится следующее свойство сходящихся последовательностей.

Лемма. Пусть , причем . Тогда последовательность ограничена.

Док-во. Возьмем и найдем номер , после которого . Для всех номеров будет справедлива оценка

, ,

а значит, для этих номеров . Тогда для всех номеров будет справедливо

, что означает ограниченность последовательности .

Теорема. Пусть и . Тогда последовательность также будет сходящейся, причем . Док-во. Из условия теоремы вытекает, что , а , где и - бесконечно малые последовательности. Поэтому

Последовательность , очевидно, бесконечно малая, а, следовательно, .