52. Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..

Арифметические свойства непрерывных функций. Если функция f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то их сумма f(x)+g(x), произведение f(x)g(x) и частное f(x)/g(x) также непрерывны в точке х₀; в последнем случае дополнительно требуется, чтобы g(x₀)≠0.

Непрерывность сложной функции. Если функция f: U→V непрерывна в точке х₀, а функция g: V→W непрерывна в точке у₀=f(x₀), то суперпозиция этих функций g ο f: U→W является непрерывной функцией в точке х₀.

Если функция f:[a,b]→^на[c,d] возрастает (убывает) на отрезке [a,b] и непрерывна на этом отрезке [a,b], то обратная функция g:[c,d]→[a,b] также является непрерывной.

53. Непрерывность элементарных функций.

Элементарные функции являются непрерывными в своей области существования. Элементарными функциями называются функции, полученные их основных элементарных функций. Основные элементарные ф-ции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая.

54. Точки разрыва функции и их квалификация.

Точки разрыва функции – это точки, в которых функция не является непрерывной.

Если  и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

55. Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).

1. Т. Вейерштрасса об ограниченности. Ф-ция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число М, что |f(x)|≤M для всех xє[a,b].

2. Т.Вейерштрасса о существовании наибольшего и наименьшего значений. Функция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке, т.е. на отрезке [a,b] найдутся точки x1, x2 є [a,b], такие, что f(x1)≤f(x)≤f(x2) для всех хє[a,b].

3. Теорема о промежуточных значениях (Больоцано-Коши). Ф-ция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], и принимающая значения А=f(x1), B=f(x2), где, например, А≤В, принимает и все промежуточные значения С, А≤С≤В, т.е. для каждого такого С найдётся точка с между х1 и х2, такая, что f(c)=C.

4. Теорема о существовании нуля. Если ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значениях разных знаков, то на отрезке [a,b] найдётся точка сє[a,b], такая, что f(c)=0. y

Г еом. Иллюстрация: т.Вейерштр. т-ы о промеж.значен.

У y=f(x)

М

b=x1 а с с b x

-M а х2 х