1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Вычислительная погрешность и погрешность функции.

Источники погрешностей:

1. математические задачи являются неточными, в частности неточно заданы исходные данные описания;

2. применяемый для решения метод часто не является точным: получение точного решения возникающей математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому вместо точного решения задачи приходится прибегать к приближенному;

3. при вводе данных в машину, при выполнении арифметических операций и при выводе данных производятся округления.

Виды погрешностей (соответствующие источникам погрешностей):

1. неустранимая погрешность;

2. погрешность метода;

3. вычислительная погрешность

Неустранимую погрешность разделяют на две части:

а) неустранимая погрешность – следствие неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи.

б) погрешность математической модели – погрешность, которая является следствием несоответствия математического описания задачи реальности.

Если a – точное значение некоторой величины, а a^* –неизвестное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближенного значения a^* называют обычно некоторую величину a^* про которую известно, что

Относительная погрешность приближенного значения – некоторая величина a^* про которую известно, что

Относительную погрешность часто выражают в процентах.

Точные решения какой-либо задачи договоримся обозначать , тогда абсолютная погрешность измеряется .

Относительная погрешность:

Вычислительная погрешность:

Погрешность функции:

???2. Матричные вычисления. Сложение и умножение матриц. Блочные матрицы и операции с ними. Быстрое матричное умножение.

Матричные вычисления можно условно разделить на несколько типов. Первый тип – простейшие действия, которые реализованы операторами и несколькими функциями, предназначенными для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. п.

Второй тип – более сложные функции, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как решение систем линейных уравнений

Простейшие операции:

1. транспонирование (поменять строки и столбцы местами)

2. сложение и вычитание

3. сложение матрицы со скаляром

4. смена знака матрицы

5. умножение матрицы на скаляр

6. умножение матрицы на вектор

7. умножение двух матриц

8. нахождение определителя матрицы

9. нахождение обратной матрицы

10. возведение матрицы в степень и т.д.

Суммой матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: .

Разность матриц

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица тех же размеров, у которой Обозначение: .

Умножение матриц

Произведением матрицы размером на матрицу размером называется матрица , размером , у которой . Обозначение: .

Блочная матрица – вид квадратной матрицы, каждый элемент которой является квадратной подматрицей меньшей, кратной размерности.

Пример:

Матрица размерностью 4×4:

является блочной, состоящей из четырех подматриц-блоков размерностью 2×2

Если каждый блок будет определен как:

,

то, блочная матрица может быть записана в следующем виде:

Операции над матрицами:

При сложении блочных матриц нужно, чтобы подматрицы были одного размера.

При умножении блочной матрицы на число a каждая подматрица умножается на a.

При перемножении блочных матриц необходимо согласовать размеры подматриц.

При транспонировании блоки на главной диагонали транспонируются и остаются на месте, остальные блоки меняются местами и транспонируются.