8. Алгоритм исключения Гаусса без перестановки строк. Lu- и ldv-разложения.

См. вопрос 4

LU-разложение – представление матрицы A в виде LU, где L – нижняя треугольная матрица, а U — верхняя треугольная матрица. LU-разложение еще называют LU-факторизацией.

LU-разложение используется для решения систем линейных уравнений и для обращения матриц. Этот метод является одной из разновидностей метода Гаусса.

9. Алгоритм исключения Гаусса при наличии вырожденных главных подматриц. Алгоритм с перестановкой строк или с выбором главного элемента.

1) Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.

2) Если самое верхнее число в этом столбце есть ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.

3) Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.

4) Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.

5) Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.

6) После повторения этой процедуры n − 1 раз получают верхнюю треугольную матрицу

7) Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.

8) Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

9) Чтобы получить обратную матрицу, нужно применить все операции в том же порядке к единичной матрице.

Для решения следующей системы уравнений:

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

Проведём следующие действия:

• К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.

• К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

• К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.

• Строку 2 делим на −2

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.

• К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.

• К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.

В правом столбце получаем решение:

 .

10. Свойства и определения матричных и векторных норм. Теорема Коши – Шварца. Число обусловленности системы линейных уравнений. Геометрический смысл числа обусловленности. Матричная норма

Матричной нормой называется функция, отображающая матричное пространство в действительные числа.

Матричная норма должна удовлетворять условиям:

1)

2)

3)

4)

Примеры норм

Вторая норма:

Матричную норму можно получить исходя из векторных норм.

Матричная норма, индуцируемая векторной нормой, записывается:

Значение x, при котором обеспечивается максимальное значение отношения характеризует направление, в котором имеет место наибольшее растяжение вектора x.

Матрицу A можно считать оператором, который преобразует вектор x в новый вектор.

Определенная таким способом функция, удовлетворяет всем требованиям матричных норм.

Векторная норма ,

– матричная норма матрицы A

– векторная норма вектора x

К матричным нормам, индуцируемым векторной нормой относятся векторные нормы:

– сумма по столбцам

– сумма по строкам

Для Евклидовой нормы справедливо неравенство Коши-Шварца:

Доказательство

Рассмотрим сумму двух векторов:

c

a

b

, ,

Из того, что многочлен представляет собой норму, то его величина больше нуля.

Для того, чтобы отсутствовали действительные корни этого многочлена необходимо выполнение условия: детерминант меньше нуля, т.е. .

Если детерминант имеет действительные корни, то многочлен может принимать либо отрицательные значения, либо ноль, что противоречит требованию, что он является нормой.

Исходя из этого неравенства получим:

– норма.

Числом обусловленности матрицы A или соответствующей этой матрице системе уравнений называют произведение нормы матрицы A на норму обратной матрицы:

Матрица A называется хорошо обусловленной, если коэффициент обусловленности имеет небольшую величину.

Пример хорошо обусловленной матрицы:

Определитель –

Пример плохо обусловленной матрицы: