35. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Метод Эйлера представляет собой аппроксимации производной разделенной разностью первого порядка.

Отсюда получим разностное уравнение:

– интервал интегрирования дифференциального уравнения.

Уравнение Эйлера и формулы Адамса определяется посредством приближения интеграла в интегральном уравнении, эквивалентном дифференциальному уравнению, с помощью соответствующих квадратурных формул.

Дифференциальное уравнение может быть представлено эквивалентным интегральным уравнением:

Задача заключается в построении квадратурной формулы для этого интервала.

Простейшая формула – формула прямоугольника.

Формула прямоугольника на интервале :

В этом случае имеет место формула Эйлера.

Точность формулы Эйлера имеет величину, пропорциональную квадрату шага дискретизации.

Более точная формула получится с помощью формулы трапеции:

Тогда расчетная формула принимает вид:

Эта формула является нелинейной по искомому значению функции в конце интервала.

Точность этой формулы имеет величину второго порядка .

На практике, чтобы преодолеть эту сложность, значение в конце интервала в правой части уравнения заменяется на значение функции по формуле Эйлера.

При этом, алгоритм решения задачи принимает вид:

цикл

Второй подход к решению этой проблемы основывается на итерациях по значению функции в конце интервалов.

цикл

На практике:

36. Определение градиента функции нескольких переменных.

Разложение функции нескольких переменных в ряд Тейлора

Введем вектор первых частных производных:

Этот вектор называется градиентом функции.

Введем матрицу вторых частных производных:

– матрица Гесса

Тогда ряд Тейлора в матричной форме можно записать в виде:

Вектор градиента в каждой точке x направлен по нормали к множеству уровня функции f, проходящего через эту точку.

Множеством уровня называется область значений x, при которых функция f(x) принимает некоторое значение.

В случае двух переменных множество уровня является кривой на плоскости.

Вектор градиента направлен в сторону возрастания функции.

Оптимизация заключается в нахождении максимального и минимального значения функции.

Задача минимизации стандартно записывается в виде:

Решение этой задачи:

Задача нахождения максимума:

Минимизируемая функция называется целевой функцией.

Точки минимума и максимума называются экстремальными точками.

Необходимое условие минимума гладкой функции без ограничения является равенство нулю ее градиента.

Имеет место система уравнений:

Решений может быть несколько, а могут и отсутствовать.

В точке минимума целевой функции матрица Гесса должна быть положительно определенной.

Матрица Гесса в точке x называется положительно определенной, если величина

Метод градиента

В этом методе используется итерационный алгоритм, в котором каждая новая точка

В этом случае на каждом шаге осуществляется движение в направлении антиградиента в точке, предшествующей точке.

Коэффициент называется шагом итерационного алгоритма.

В ряде случаев этот коэффициент уменьшается с номером роста числа итераций, а в ряде случаев представляет собой фиксированную постоянную величина.

Основное условие:

При малой величине шага велико число итераций или, по-другому, итерационный алгоритм имеет низкую скорость сходимости.

При большой величине шага итерационный алгоритм может оказаться неустойчивым, при этом он не сходится к решению задачи.

Другая проблема применения градиентного метода возникает в случае, если целевая функция имеет овражный тип (если множество ее уровней имеет вытянутый характер).

Чтобы устранить этот недостаток используем алгоритмы, представляющие:

Вектор должен принадлежать множеству направления убывания функции.

При выборе шага, как в градиентом методе, так и в методе возможных направлений используется одномерная задача минимизации. Осуществляется задача минимизации целевой функции:

Одномерная минимизация – метод золотого сечения, метод Фибоначчи.