3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера и обратная матрица. Вычислительная сложность.

Потребность в решении таких уравнений встречается во всех задачах вычислительной математики.

Задача решения этих уравнений заключается в обеспечении возможно меньшей сложности, выраженной в числе необходимых операций или действий.

Стандартным приемом решения таких систем является подход, основанный на формулах Крамера. Но применение этих формул сопряжено с большим объемом вычислений и поэтому в вычислительной математике используются различные способы сведения исходного уравнения к уравнениям, решение которых значительно проще:

, , , .

Пусть матрица – матрица, получившаяся из матрицы заменой столбца на вектор правой части линейной системы, тогда какой-либо компонент вектора решения можно представить следующим образом:

, где

– определитель матрицы ,

Сложность метода Крамера заключается в сложности нахождения определителя высокого порядка.

Для определителей более высокого порядка таких простых формул не существует, для них могут быть использованы формулы разложения по минорам или алгебраическим дополнениям некоторой строки или столбца матрицы:

, где

– алгебраическое дополнение элемента

, где

– минор матрицы , который получается из нее после вычеркивания строки и столбца.

представляет собой определители, размеры которых на единицу меньше размера определителя матрицы .

Определитель матрицы можно представить следующим образом:

, число перестановок .

Степень у (-1) в квадратных скобках – обозначает четность перестановки.

,

определители:

Обратная матрица:

, где

– единичная матрица.

Элемент обратной матрицы :

Вычислительная сложность– сумма операций сложения и умножения, которые необходимо выполнить в алгоритме вычисления многочлена.

4. Решение систем линейных уравнений. Метод исключения Гаусса с верхней и нижней треугольной матрицами. Методы прямой и обратной подстановки. Решение линейных систем алгебраических уравнений

Потребность в решении таких уравнений встречается во всех задачах вычислительной математики.

Задача решения этих уравнений заключается в обеспечении возможно меньшей сложности, выраженной в числе необходимых операций или действий.

Стандартным приемом решения таких систем является подход, основанный на формулах Крамера. Но применение этих формул сопряжено с большим объемом вычислений и поэтому в вычислительной математике используются различные способы сведения исходного уравнения к уравнениям, решение которых значительно проще:

, , , .

Пусть матрица – матрица, получившаяся из матрицы заменой столбца на вектор правой части линейной системы, тогда какой-либо компонент вектора решения можно представить следующим образом:

, где

– определитель матрицы ,

Сложность метода Крамера заключается в сложности нахождения определителя высокого порядка.

Для определителей более высокого порядка таких простых формул не существует, для них могут быть использованы формулы разложения по минорам или алгебраическим дополнениям некоторой строки или столбца матрицы:

, где

– алгебраическое дополнение элемента

, где

– минор матрицы , который получается из нее после вычеркивания строки и столбца.

представляет собой определители, размеры которых на единицу меньше размера определителя матрицы .

Определитель матрицы можно представить следующим образом:

, число перестановок .

Степень у (-1) в квадратных скобках – обозначает четность перестановки.