63. Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

Касательной к кривой L в точке АєL этой кривой называется предел секущих {A,M} в точке А, когда точка М кривой L стремится к точке А.

Нормаль к кривой - прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,f(x0)) этого графика выглядит таким образом Y-f(x0)=f’(x0)(X-x0).

Нормалью к графику функции y = f (x) в точке A (x₀; y₀) называется прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная касательной к этой точке. Она задается уравнением

что следует из свойства угловых коэффициентов перпендикулярных друг другу прямых.

64. Геометрический смысл производной

Производная f’(x0) есть угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x0,f(x0)). f’(x0)=tgα.

65. Бесконечная производная и вертикальная касательная.

В случае, когда lim_∆x→±0f(x0+∆x)-f(x0)/∆x =±∞, мы будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечную производную в точке х0.

Имея одно из равенств f’(x0-0)=±∞ или f’(x0+0)=±∞ мы можем сделать следующий геометрический вывод: если в точке (x0,f(x0)) существует касательная, то она – вертикальная (т.е. параллельна оси Оу);

66. Правила дифференцирования (теоремы).

• Суммы, произведения и частного

• Сложной функции

• Обратной функции

1. (Производная суммы функций есть сумма производных этих функций.) Если ф-ция f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма этих функций (f+g)(x)=f(x)+g(x) также дифференцируема в точке х0 и (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)

Док- во По свойству предела суммы получаем

(Постоянную можно выносить за знак производной.) Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке х0, СєR – постоянная, то функция Cf(x) также дифференцируема в точке х0 и (Cf)’(x0)=Cf’(x0).

Док-во: (Сf(x))’(x0)= lim_∆x→0(Cf)(x0+∆x)-(Cf)(x0)\∆x = lim_∆x→0Cf(x0+∆)-Cf(x0)\∆x=C lim_∆x→0f(x+∆x)-f(x0)\∆x=Cf’(x0).

(Производная произведения вычисляется по правилу Лейбница.) Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х0, то произведение этих функций (fg)(x)=f(x)g(x) также дифференцируемо в точке х0 и (fg)’(x0)=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0).

Док-во: (f(x)g(x)))’(x0)= lim_∆x→0(fg)(x0+∆x)-(fg)(x0)\∆x = lim_∆x→0f(x0+∆x)g(x0+∆x)-f(x0)g(x0)\∆x = lim_∆x→0[f(x0+∆x)-f(x0)]g(x0+∆x)+f(x0)[g(x0+∆)-g(x0)]\∆x = lim_∆x→0f(x0+∆)-f(x0)\∆x * g(x0+∆x)+f(x0) lim_∆x→0 g(x0+∆x)-g(x0)\∆x = f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0).

В конце этих преобразований мы использовали то, что дифференцируемая в точке х0 функция g(x) является непрерывной в этой точке и потому lim_∆x→0g(x0+∆x) = g(x0).

(Производная частного.) Если функция u(x) и v(x) дифференцируемы в точке v0, причём v(x0)≠0, то частное этих функций (u\v)(x)=u(x)|v(x) также дифференцируемо в точке х0 и (u\v)’(x0)=u’(x0)v(x0)-u(x0)v’(x0)\v²(x0).

Док-во: Присвоим значение y = u/v. Когда x возрастает до x + Δx, u изменяется на Δu и v изменяется на Δv. y изменяется на Δy и осуществляет:

Перейдём к пределу:

2. Производная сложной функции:

Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в точке х0, а функция z=g(y) дифференцируема в точке y0=f(x0). Тогда сложная ф-ция F(x)=g(f(x)) также дифференцируема в точке х0, причём F’(x0)=g’(f(x0))f’(x0).

Док-во: Рассмотрим основное равенство дифференциального исчисления для функции g(y): ∆z=g(y0-∆y)-g(y0)=g’(y0)∆y+α(∆y)∆y, где функция α(∆у) удовлетворяет условию lim_∆y→0α(∆y) = 0, α(0)=0, т.е. α(h) есть бесконечная малая функция при h→0, непрерывная в нуле. Тогда, поделив на ∆х≠0, будем иметь ∆z\∆x = g’(y0)*∆y\∆x + α(∆y)*∆y\∆x. Если считать в этом выражении, как обычно, что ∆y = f(x0+∆x)-f(x0), то предел lim_∆x→0∆y\∆x отношний в правой части этого выражения равен f’(x0), и поэтому осталось только понять, чему равен предел lim_∆x→0α(∆y). Но из дифференцируемости функции f(x) в точке x0 следует непрерывность этой функции в точке х0: lim_∆x→0∆у=0. Таким образом, функция ∆у, рассматриваемая как функция от ∆х, является непрерывной в нуле и потому сложная функция α(∆у) от ∆х является непрерывной в нуле как суперпозиция непрерывных в нуле функций. В частности, lim_∆x→0α(∆у)=0, и поэтому из ∆z\∆x = g’(y0)*∆y\∆x + α(∆y)*∆y\∆x следует, что F’(x0)=lim_∆x→0∆z\∆x = g’(f(x0))f’(x0), что и требовалось доказать.

3. Производная обратной функции.

Пусть f возрастающая (или убывающая) непрерывная функция на отрезке [a,b], g-обратная функция к функции f, определённая на отрезке с концами с=f(a) и d=f(b). Если функция f(x) в точке х0 и f’(x0)≠0, то обратная функция дифференцируема в точке у0=f(x0) и g’(y0)=1\f’(x0).

Док-во: Обозначим, как обычно, ∆y=f(x0+∆x)-f(x0). Тогда g(y0-∆y)-g(y0)=∆x. Поэтому g(y0+∆y)-g(y0)\∆y=∆x\f(x0+∆x)-f(x0). Но из теоремы о непрерывности обратной функции для g(x) следует, что если ∆у→0, то ∆х→0, поэтому g’(y0)=lim_∆y→0g(y0+∆y)-g(y0)\∆y = lim_∆x→0∆x\f(x0+∆x)-f(x0)=1\f’(x0).