Замечательный логарифмический предел

Доказательство предела

Замечательный показательный предел

Следствия

для ,

Доказательство предела

Доказательство следствия

Замечательный степенной предел

Доказательство предела

38. Функция, ограниченная на данном множестве.

функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D если существует числа m и M такие что выполняется неравентсво: m<=f(x)<=M, для всех x принадлеж D.

39. Св-ва функций имеющих предел.

• Если ф-ция имеет предел при х→а, то этот предел единственен.

• Если ф-ция имеет предел b при х→а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а.

• Если ф-ция имеет предел b при х→а, а число b>0 (либо b<0), то существует окрестность точки а, в которой f(x)>0 (либо f(x)<0).

• Если в некоторой окрестности точки а ф-ции f(x), g(x) удовлетворяют неравенству f(x)≤g(x) и имеют пределы при х→а, то и их пределы удовлетворяют неравенству lim _х→аf(x)≤ lim _х→аg(x).

• Если в некоторой окрестности точки а ф-ции f(x), g(x), h(x) удовлетворяют неравенству f(x)≤g(x)≤h(x), ф-ции f(x), h(x) имеют пределы при х→а, и этот предел тоже равен числу b.

40. Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.

Функция f(x)называется бесконечно малой в точке а, если lim_x→af(x)=0.

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма бесконечно малых в точке функций является бесконечно малой в этой точке функцией.

2. Произведение бесконечно малой в точке а функции на функцию, локально ограниченную в этой точке, есть бесконечно малая в точке а функция.

Док-во: 1. Пусть функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми в точке а, т.е. lim_x→af(x)=0 и lim_x→ag(x)=0. Тогда для данного ε>0 найдутся δ₁>0, δ₂>0, такие что |f(x)|<ε/2, если 0<|x-a|< δ₁ , и |g(x)|<ε/2, если 0<|x-a|< δ₂ . Но отсюда из неравенства треугольника для абсолютной величины следует, что |f(x)+g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| < ε/2+ ε/2 = ε, если 0<|x-a|<δ, где δ=min{δ₁, δ₂}.

2. Пусть ф-ция f(x) является бесконечно малой в точке а, а ф-ция g(x) является ограниченной в некоторой окрестности Oσ(a), т.е. все значения g(x) в этой окрестности ограничены по абсолютной величине, например М, |g(x)| ≤ M, xє Oσ(a). Для данного є>0 найдём δ>0, такое, что |f(x)|<ε/М, если 0<|x-a|<δ. Можно считать что δ≤σ. Тогда |f(x)g(x)| = |f(x)||g(x)|<ε/М*M = ε, если 0<|x-a|<δ.

41. Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.

Число А является пределом функции f(x) в точке а тогда и только тогда, когда f(x)=А+α(х), где α(х) есть бесконечно малая функция в точке а.

42. Теорема о пределе суммы, произведения и частного.

Предел суммы, произведения, частного двух функций есть (если эти пределы существуют), соответственно, сумма, произведение, частное пределов этих функций.

Д ок-во: Пусть lim_x→af(x)=A, lim_x→ag(x)=B, что в силу теоремы означает, что f(x) = A+α(x); g(x) = B+β(x), где и β(x) есть бесконечно малые функции в точке а. Поэтому

f (x)+g(x)=A+α(x)+B+β(x)=A+B+ [α(x)+ β(x)], --беск.малая,

f(x)g(x) = (A+ α(x))( B+β(x))=AB+[Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x)],---беск.малая

f(x)/g(x)= A+ α(x)/B+β(x)=A/B+[1/Bg(x)*(Bα(x)-Aβ(x)].

В силу теоремы, осталось проверить, что выражения в квадратных скобках – бесконечно малые в точке а. Первое из этих выражений есть бесконечно малая как сумма бесконечно малых; второе – как сумма произведений бесконечно малых функций на локально ограниченные функции.

Доказательство того, что и последнее выражение в квадратных скобках есть в точке а бесконечно малая функция требует более тонких рассуждений. Во –первых, сложить дроби и убедиться самим, что левая часть последнего равенства действительно равна правой. Во-вторых, надо вспомнить, что равенство lim_x→af(x)/g(x)=A/B доказывается при дополнительном предположении В≠0. Предположим, например, что В>0 и пусть В>q>0. В силу свойства сохранения знака предела, найдётся σ>0, такое, что g(x)>q, если 0<|х-а|<σ. Но тогда |1/Bg(x)|<1/|B|q, если 0<|x-a|<σ, т.е. 1/Bg(x) есть локально ограниченная в точке а функция. Наконец, осталось заметить, что (Bα(x)-Aβ(x)) есть бесконечно малая как сумма произведений ограниченных величин на бесконечно малые, и это же верно для произведения 1/Bg(x)*(Bα(x)-Aβ(x)) локально ограниченной функции на бесконечно малую.