24. Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.

Если комплексное число w=a+bi есть корень многочлена P(x) с действительными коэффициентами, то комплексно сопряжённое число w^--=a-bi так же является корнем этого многочлена.

Многочлен с действительными коэффициентами допускает разложение на линейные и квадратичные множители, причём линейные множители соответствуют вещественным корням многочлена, а квадратичные – комплексным корням многочлена. Если многочлен P(x) имеет степень n, { α_1, α₂,… α_k} – действительные корни этого многочлена, то разложение имеет вид

P(x)=a₀(x- α₁)(x- α₂)…(x- α_k)(x²+p₁x+q₁)( x²+p₂x+q₂)…( x²+p_sx+q_s), где k+2s=n.

Практическое нахождение разложения многочлена требует знания корней этого многочлена. К сожалению, не существует общих формул для нахождения корней многочлена по его коэффициентам, и, По-существу, единственной известной студентам общей формулой является школьная формула для нахождения корней квадратного уравнения. Поэтому корни иногда приходится угадывать, после чего делить многочлен на соответствующую разность x- α затем разбираться с многочленом меньшей степени.

25. Последовательность, её геометрическое изображение.

Числовой последовательностью {x_n} называется множество чисел, занумерованное натуральными числами nЕN.

Числовая последовательность обычно задаётся 3-ся способами: 1) описательно (когда указывается происхождение элементов последовательности); 2) в виде явного списка {х1,x2,x3,…xn,…}; 3) в виде формулы, выражающий n-й член xn этой последовательности через n.

0 2 4 6 8 10

Числа интерпретируются как точки на числовой оси. Предел последовательность здесь – это точка а=6, к которой «сбегаются» точки последовательности.

5 Здесь элементы последовательности Xn

4 рассматриваются как значения некоторой ф-ции

3 f:N→R, определённой на множестве натуральных

2 чисел равенством f(n) = Xn, а точки на рисунке -

1 часть графика этой функции, соответствующая

-1 1 10 15 20 25 значениям n≤24. Предел последовательности а – это уровень «устья воронки», в которой содержатся точки, создающие геометрический образ последовательности {Xn}.

26. Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.

Последовательность {x_n} называется ограниченной, если найдётся такое число М, что |x_n|≤M для всех nЕN;

Последовательность {x_n} называется возрастающей, если из n<m следует, что x_n<x_m.

Последовательность называется неубывающей(невозрастающей), если x_n+1≥x_n (x_n+1≤x_n) для всех nЕN.

Последовательность {x_n} называется убывающей, если из n<m следует, что x_n>x_m.

Последовательность {x_n} называется монотонной, если она или монотонно убывающая или монотонно возрастающая.