56. Определение производной.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел при х→х0 отношения приращения этой функции в точке х0 к приращению аргумента; обозначение для производной f’(x0) или df\dx*(х0). Таким образом, если обозначить ∆х=х-х0, то f’(x0)=lim_x→x0f(x)-f(x0)/x-x0=lim_∆x→0f(x0+∆x)-f(x0)\∆x.

57. Механический смысл производной.

Если значения функции х=f(t) рассматривать как координату в момент времени t точки, движущейся по оси Ох, то производная f’(t0) есть скорость движения этой точки в момент времени t0. Вообще, производная f’(x0) функции f(x) в точке х0 есть скорость изменения функции f(x) в этой точке.

58. Определение дифференцируемой (в точке) функции.

Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.

Ф-ция f(x), определённая в некоторой окрестности точки х0, называется дифференцируемой в точке х=х0, если её приращение в этой точке представимо в виде ∆f=f(x0+∆x) - f(x0) = k∆x+α(∆x)*∆x, где k-постоянная, а α(∆x) есть бесконечно малая (функция) при ∆х→0.

Ф-ция f(x), определённая в некоторой окрестности точки х0, называется дифференцируемой в точке х=х0, если её приращение в этой точке представимо в виде ∆f=f(x0+∆x) - f(x0) = k∆x+ о(∆x), где k-постоянная, а о(∆x) есть бесконечно малая (функция) в нуле, более высокого порядка, чем ∆х.

59. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.

Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке х0, то в точке х0 существует производная f’(x0). Обратно, если в точке х0 существует производная f’(x0), то существует дифференциал df_x0, причём коэффициент k линейной функции df_x0=k∆x есть в точности производная f’(x0), k=f’(x0).

Док-во: Предположим, что функция f(x) дифференцируема в точке х0, т.е. существует линейная функция L(∆x)=k∆x, такая, что f(x0+∆x)-f(x0)=k∆x+α(∆)∆x. Тогда lim_∆x→0f(x0+∆x)-f(x0)/∆x=lim_∆x→=[k+α(∆x)]=k, так как lim_∆x→0α(∆х)=0, по определению дифференцируемости. Итак, производная f’(x0) существует и равна k.

Предположим теперь, что существует производная f’(x0)= lim_∆x→0f(x0+∆x)-f(x0)/∆x. Тогда по теореме о связи между функцией, пределом и бесконечно малой, f(x0+∆)-f(x0)/∆x=f’(x0)+α(∆x), если ∆х≠0, где lim_∆x→0α(∆х)=0, поэтому f(x0+∆x)-f(x0)=f’(x0)∆x+ α(∆x)*∆x. Последнее равенство остаётся верным и при ∆х=0, если положить α(0)=0, а это означает, что линейная функция L(∆x)=f’(x0)∆x удовлетворяет определению дифференцируемости функции ∆f=f(x0+∆x) - f(x0) = L(∆x)+α(∆x)*∆x.

60. Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.

Если функция f(x) дифференцируема в точке х0, то функция f(x) непрерывна в точке х0.

Док-во: Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке х0, то ∆f= f(x0+∆x) - f(x0)= k∆x+α(∆x)*∆x, где lim_∆x→0α(∆x)=0, и потому [k∆x+α(∆x)∆x]→0 при ∆х→0, откуда lim_∆x→0[f(x0+∆x)-f(x0)]=0, что доказывает непрерывность функции f(x) в точке x0.

61. Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.

Простейшим примером такой непрерывной ф-ции является функция f(x)=|x| в точке 0.

62. Односторонние производные.

Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.

 

   Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.