1.2.7. Понятие о подпоследовательности числовой по-

следовательности

Пусть – некоторая последовательность. Рассмотрим произвольную бесконечную возрастающую последовательность целых положительных чисел . Выберем из последовательности элементы с номерами , расположив их в таком же порядке, как и числа .

Полученная последовательность называется подпоследо-вательностью последовательности .

Теорема Больцано–Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство:

Т.к. последовательность ограничена, все ее элементы принадлежат некоторому отрезку [a, b], который обозначим через . Поделим пополам отрезок [a, b] и в качестве возьмем ту его половину, к которой принадлежит бесконечное число элементов . Выберем какой-либо элемент . Снова поделим пополам и возьмем , содержащее бесконечное число элементов . Выберем с номером (это всегда можно сделать, т. к. в – бесконечное число элементов). Продолжая этот процесс, получим последовательность отрезков , таких, что каждый последующий принадлежит предыдущему, а Тогда по принципу вложенных отрезков существует точка для всех k. Очевидно, выбранная таким образом подпоследовательность имеет своим пределом C.

1.2.8. Необходимое и достаточное условие сходимости

последовательности. Критерий Коши

До сих пор мы с вами выясняли вопрос о сходимости последовательности в соответствии с определением предела, т.е. нам приходилось оценивать разность элементов этой последовательности и ее предполагаемого предела a. Иными словами, приходилось предугадывать, чему равен предел а.

Хорошо бы иметь такой критерий сходимости последова-тельности, который имеет дело только с самими ее элементами. Такой критерий имеется. Для его формулировки сначала введем понятие фундаментальной последовательности.

Определение.

Последовательность называется фундаментальной, если для любого найдется номер такой, что для всех справедливо неравенство .

Теорема (критерий Коши; Коши – известный французский математик 19 века). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Эта теорема дается без доказательства.

Пример.

Применим критерий Коши для установления сходимости следующей последовательности : , где – произвольные вещественные числа, удовлетворяющие условию Пусть m и n – любые два натуральных числа. Пусть для определенности m > n. Тогда

Учитывая, что , для любого найдется номер N такой, что Тогда при , т.е. последователь-ность фундаментальна и сходится. При n > m доказательство аналогичное.

1.3. Функция. Предел функции. Непрерывность функции

1.3.1. Определение предела функции

В самом начале нашего курса мы познакомились с определением функции и области ее определения. Одной из наиболее употребимых моделей функций являются непрерывные функции. Для изучения их свойств необходимо ввести понятие предела функции.

Рассмотрим функцию , определенную на множестве и точку а, быть может и не принадлежащую множеству , но обладающую тем свойством, что в любой ее имеются точки множества , отличные от а (например, точка а может быть граничной точкой интервала, на котором определена функция).

Определение 1.

Число b называется пределом функции в точке x = a (или пределом функции при ), если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента x, элементы которой отличны от а ( ), соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

Это определение дано на привычном языке последовательностей и их пределов. Есть другое определение, не связанное с понятием последовательности.

Определение 2.

Число b называется пределом функции в точке

x = a, если для любого можно указать такое, что для всех x, для которых , выполняется неравенство .

Записывают так:

или

Говорят еще так: первое определение предела функции – через предел последовательности, второе – на языке

Можно доказать, что каждое из этих определений следует из другого. Таким образом, оба определения эквивалентны и в зависимости от удобства можно использовать и то и другое.

Мы познакомились с определением предела в конечной точке x=a. Дадим определение предела при .

Число b называется пределом , если определена для всех x, удовлетворяющих неравенству x > K при некотором K > 0 и для любого >0 можно найти число

M > K, такое что для всех x, удовлетворяющих неравенству x > M.

Записывают так: .

Аналогичное определение можно дать для предела при В дальнейшем в записи величину а будем считать как конечной, так и бесконечной Более того, и значение предела b может быть либо конечным, либо бесконечным

Определение.

Функция , для которой , называется бесконечно малой при .

Функция , для которой , называется бесконечно большой при .

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Докажем, что . Пусть задано произвольное число ; для того, чтобы выполнялось неравенство , необходимо выполнение следующих неравенств: Обозначим . Тогда, если то , а это и означает, что .

Замечание.

Для существования предела при не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки a, а не в самой точке a. Это положение наглядно иллюстрируется следующим примером.

Пример 2.

Доказать, что .

Функция не определена при Надо доказать, что при произвольном найдется такое , что будет выполняться неравенство , если . Но при неравенство (*) эквивалентно неравенству , т.е. . Таким образом, если положить , то при , а это означает, что при функция .

Пример 3.

Докажем, что или Надо доказать, что , если , причем N определяется выбором

Итак, если то , а это и означает, что при .