1.2.5. Основные теоремы о пределах
Теорема 1.
Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство:
Предположим, что сходящаяся последовательность имеет два предела a и b. Выберем возле точек a и b на числовой оси интервалы (c, d) и (e, f), настолько малые, чтобы они не пересекались. Теперь воспользуемся третьим определением предела: если число a является пределом , то вне интервала (c, d) имеется только ограниченное число членов последовательности. Но это означает, что интервал (e, f) не может содержать бесконечное число членов последовательности . Это противоречие доказывает, что сходящаяся последовательность может иметь только один предел. Теорема доказана.
Теорема 2.
Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть
.
Тогда
можно представить в виде
,
где
– бесконечно малая последовательность.
Но бесконечно малая последовательность
ограничена, т.е. найдется A>0,
такое , что
при всех n.
Тогда
.
Это неравенство выполняется для всех
n,
а это означает ограниченность
последовательности
.
Теорема доказана.
Еще
несколько теорем о пределах. Пусть даны
две сходящихся последовательности
и
.
Значения
определяют последовательности
.
Справедливы равенства:
;
(1)
;
(2)
,
если
.
(3)
Эти формулы фактически задают арифметические действия с переменными, имеющими предел.
Доказательство равенства (1):
Пусть
Выберем
и подберем N
так, чтобы при
Тогда при
Равенство доказано.
Доказательство равенства (2):
Представим
и
в
виде:
где
и
–
члены бесконечно малых последовательностей.
Тогда
Поэтому
.
При этом последовательность
– бесконечно малая последовательность,
т.к. бесконечно малой последовательностью
является каждая из трех переменных
.
Поэтому последовательность
также бесконечно малая, а последовательность
сходится и ab
– ее предел. Равенство доказано.
Для доказательства равенства (3) сначала докажем лемму.
Лемма.
Если
последовательность
сходится и имеет отличный от нуля предел
b,
то, начиная с некоторого номера, определена
последовательность
,
которая является ограниченной.
Доказательство:
Пусть
начиная с которого выполняется неравенство
или
Тогда
,
,
т.е.
.
Поэтому при
.
Следовательно, начиная с этого N
мы можем рассматривать последовательность
и она ограничена. Лемма доказана.
Доказательство равенства (3):
Если
,
где
– бесконечно малые последовательности.
Тогда
Таким
образом
Равенство (3) доказано.
Итак, мы выяснили, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же операциям над их пределами. Этот очень важный вывод поможет вычислять пределы различных последовательностей.
Оказывается, что если элементы (члены) сходящихся последовательностей удовлетворяют некоторым неравенствам, то таким же неравенствам удовлетворяют и пределы их последовательностей.
Теорема.
Если
элементы сходящейся последовательности
,
начиная с некоторого номера, удовлетворяют
неравенству
,
то и предел
a
этой
последовательности удовлетворяет
неравенству
.
Доказательство:
Пусть
начиная с некоторого номера все элементы
удовлетворяют неравенству
Требуется доказать, что
.
Предположим противное, т.е. что
.
Введем
.
Для этого
существует номер
такой, что при
или
.
Из правого неравенства тогда следует,
что
,
а это противоречит условию теоремы.
Случай
рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Следствие 1.
Если
элементы
и
сходящихся последовательностей, начиная
с некоторого номера, удовлетворяют
неравенству
,
то и их пределы удовлетворяют такому
же неравенству
.
Следствие 2.
Если
все элементы сходящейся последовательности
находятся на отрезке
,
то и ее предел С
также
находится на этом отрезке.
Теорема.
Пусть
и
– сходящиеся последовательности,
имеющие общий предел a.
Пусть, кроме того, начиная с некоторого
номера, элементы последовательности
удовлетворяют неравенствам
Тогда последовательность
сходится и имеет предел a.
Доказательство:
Пусть
N*
– номер,
начиная с которого выполняются неравенства
Тогда с этого же номера выполняются
неравенства
Очевидно,
что при
N*
Т.к.
то для любого
можно указать номера N1
и N2
такие, что при
N1
,
а при
N2
.
Пусть
Очевидно, при
N
,
т.е. последовательность
– бесконечно малая последовательность.
Теорема доказана.