Где и стремятся к нулю, если . Разделим все члены в (3.10.1) на :

.

. (3.10.2)

Очевидно, – направляющие косинусы вектора .

Пусть теперь . Величину называют производной функции в точке по направлению вектора . Таким образом,

. (3.10.3)

Из этой формулы следует, что производная функции по любому направлению может быть вычислена, если известны все ее частные производные. Сами же частные производные являются производными по некоторым направлениям. Например, если выбрать в качестве заданного направления положительное направление оси ,

То , тогда и

Аналогично производные и являются производными вдоль положительных направлений координатных осей и .

Пример.

а) Найти производную функции в точке в направлении, составляющем с осью угол º;

б) Найти производную функции в точке в направлении вектора ;

в) Найти производную функции в точке в направлении, составляющим одинаковые острые углы с направлениями координатных осей.

Решение.

а) Прежде, чем привести решение этой задачи, заметим, что формула (3.10.3) пригодна и для функций двух переменных. Для этого достаточно положить , т.е. исключить в этой формуле третье слагаемое.

Итак, в нашем случае º, º, т.е. .

.

Тогда

б) Сначала найдем направляющие косинусы вектора .

.

Теперь вычислим частные производные:

.

В точке эти производные равны

. Итак,

.

в) Воспользуемся тем, что

и .

Отсюда, т.к. углы – острые, то .

.

Окончательно получаем .

3.11. Градиент

Пусть в некоторой области задана функция . Введем вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных :

.

Этот вектор называется градиентом функции . Говорят также, что в области определено векторное поле градиентов ( в каждой точке имеется свой вектор градиента). Сами же значения называют скалярным полем (т.к. значения – скаляры, т.е. числа).

Теорема.

Пусть дано скалярное поле и в этом скалярном поле определено поле градиентов

.

Тогда производная по направлению вектора равна проекции вектора на вектор :

пр . (3.11.1)

Геометрически формулу (3.11.1) можно трактовать с помощью следующего рисунка

Здесь – угол между векторами и . Таким образом

. (3.11.2)

Из определения градиента и формул (3.11.1) (3.11.2) следуют свойства градиента:

1. Производная в данной точке по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента ( на приведенном выше рисунке); это наибольшее значение производной равно . Другими словами, скалярное поле максимально изменяется в направлении градиента.

2. Производная по направлению, перпендикулярном градиенту, равна нулю: в этом случае . Таким образом, в направлении, перпендикулярном градиенту, функция не изменяется (мы находимся на поверхности заданного уровня ).

Пример 1.

Найти градиент функции в точке .

Для функции двух переменных градиент, очевидно, находится в виде:

.

В нашем случае

.

Тогда .

Пример 2.

Для функции найти величину и направление в точке .

,

поэтому .

Очевидно, , а направляющие косинусы вектора равны:

.