2.13. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
Если функция y=f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a,b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений (в соответствии с теоремой Вейерштрасса). Наибольшее М и наименьшее m значения функции достигаются либо в критических точках, лежащих внутри отрезка (рис.1), либо на его концах (рис.2).
(1)
Возможны
различные комбинации указанных случаев.
Важно понять следующее: чтобы найти
максимальное М
и минимальное m
значения при
,
следует найти все критические точки
внутри отрезка, а затем присоединить к
ним две крайние точки отрезка: x=a
и x=b,
во всех точках вычислить значения
функции и отобрать среди них наибольшее
и наименьшее.
Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Ищем значения y(x) в трех точках: на концах интервала, т.е. при х= –1, х=2 и в критической точке х=1:
y(–1)= –7; y(1)=1; y(2)=2. Итак: m= –7; M=2.
3. Функции нескольких переменных
3.1. Примеры функций нескольких переменных
При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более переменных. Примеры:
S=xy. S – площадь прямоугольника, х и у – длины его сторон. S есть функция двух переменных.
V=xyz – объем прямоугольного параллелепипеда, длины ребер которого равны x, y, z. V – функция трех переменных.
– функция
четырех переменных
x, y, z, t.
В дальнейшем мы будет рассматривать в основном функции двух переменных. Принципиальной разницы между функциями двух, трех и т.д. переменных нет, хотя технические трудности при вычислениях, безусловно, возрастают с ростом числа переменных.
3.2. Определение функции двух переменных. Область определения функции двух переменных
Определение 1. Если каждой паре (х,у) значений двух, независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D.
Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y) и т.д.
Определение 2. Совокупность пар (х,у) значений х и у, при которых определена функция z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой функции.
Примеры. Найти область определения функций:
1. z=2x–y.
Выражение 2х–у имеет смысл при всех х и у. Следовательно, область определения D – вся плоскость хОу.
2.
Область
определения определяется неравенством
или х2+у21.
Очевидно, D
– точки круга радиуса 1
с центром в начале координат. Граница
круга входит в область определения.
3. z=ln(x+y).
Очевидно, х+у>0, y>–x. Это полуплоскость над прямой у=–х (см. рис.).
Точки прямой у=–х в область D не входят.
3.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
Рассмотрим функцию
z = f(x, y), (3.3.1)
определенную в области G на плоскости хОу, и систему координат Оxyz. В каждой точке (х,у) области G проведем перпендикуляр к плоскости хОу и на нем отложим отрезок, равный f(x,y). Тогда в пространстве получим точку P(x,y,f(x,y)).
Геометрическое место таких точек, удовлетворяющих уравнению (3.3.1), называется графиком функции двух переменных. Уравнение (3.3.1) определяет в пространстве некоторую поверхность, которая и является графиком функции двух переменных.
Замечание. Функцию трех и более переменных графически изобразить невозможно.