2.2. Основные правила и формулы дифференцирования
Дифференцированием мы будем называть вычисление производной.
Если
функции
и
имеют производные в точке х,
то их сумма, разность, произведение и
частное(при условии, что
)
имеют производные и справедливы
равенства:
;
(1)
; (2)
. (3)
Доказательство.
Дадим приращение аргументу , а соответствующие приращения функций u и v обозначим
и
.
Тогда
Частный случай.
(Постоянный сомножитель можно выносить за знак производной).
Производные некоторых основных элементарных функ-
ций
1.
.
Докажем при
2.
Т.е.
мы можем воспользоваться формулой
для n
– отрицательных:
Оказывается, формула справедлива для всех n (не только для целых).
3.
.
Доказательство.
4.
.
Доказать самостоятельно.
5.
6.
Доказательство аналогичное.
7.
7а.
8.
Доказательство.
2.3. Дифференциал функции
Если
функция f
имеет в точке х
производную, то существует предел
Отсюда:
Тогда
.
(1)
Если
обозначить
,
то
.
(2)
Говорят,
что функция f
дифференцируема в точке х,
если ее приращение в этой точке
можно записать в виде (2), где
– бесконечно малая функция
(
).
Если функция f имеет в точке х производную, она называется дифференцируемой в этой точке (т.е. представляется в виде (2)).
Если
функция f
дифференцируема в точке х,
то она имеет производную
Таким образом, понятия дифференцируемости и наличия производной отождествляются.
Если
в (2)
,
то
называется главным линейным членом
приращения – он пропорционален
.
Приближенно, пренебрегая при малых
вторым членом, можно считать
.
Этот
главный член приращения называют
дифференциалом функции
:
.
Таким
образом, производная от f
в точке х
равна
,
т.е. она равна отношению дифференциала
функции f
к соответствующему дифференциалу
независимой переменной х.
При этом
не зависит от х,
а
зависит как от х,
так и от
.
Пример.
Пример использования дифференциала для приближен-ных вычислений.
Нужно прикинуть, сколько (какой объем) материала истрачено на изготовление кубической коробки с внутренним размером ребра коробки 10см и толщиной стенок 1мм.
Объем
куба
,
где х
– длина его ребра.
Объем стенок коробки
Точное
значение
.
Точность приближенного
вычисления
2.4. Производная сложной функции, обратной функции, функции, заданной параметрически
Пусть задана
сложная функция
При
этом функция
имеет производную в точке х,
а функция f
имеет производную в точке
.
Тогда существует производная от F
в точке х,
равная
Доказательство.
Т.к.
функция f
имеет производную, то она дифференцируема,
т.е.
,
при этом
Разделим
на
и перейдем к пределу при
x
Или
Пример.
Найти
производную функции
;
,
,
,
.
Практически дифференцируют, не вводя промежуточных аргументов.
