7. Обращение квадратных матриц
Пусть дана квадратная матрица n -го порядка :
.
7.1. Для того, чтобы у квадратной матрицы существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы данная матрица была невырождена, при этом обратная матрица будет единственной и ее можно найти по формуле:
.
Матрицу, расположенную в правой части этой формулы называют присоединенной
к данной матрице А. Присоединенная матрица получается в результате замены всех ее элементов своими алгебраическими дополнениями и транспонированием вновь полученной матрицы.
Следовательно, чтобы найти обратную матрицу для данной невырожденной квадратной матрицы, достаточно найти ее присоединенную матрицу и все ее элементы разделить на величину определителя данной матрицы.
7.2 Невырожденную квадратную матрицу будем называть ортогональной, если при транспонировании получим обратную ей матрицу.
.
Для ортогональной матрицы А справедливы свойства:
7.2.1.
.
7.2.2.
.
7.2.3. Если матрицы А и В - ортогональны, то АТ, А-1, А В - тоже ортогональны.
7.2.4. Если
матрица А
ортогональна и симметрична,
то
.
8. Ранг матрицы
Пусть дана прямоугольная матрица :
.
Минором k -го порядка будем называть определитель, полученный из нее после вычеркивания (m-k) строк и (n-k) столбцов.
Минорами первого порядка являются элементы матрицы.
Наибольший порядок минора, который можно составить равен min {m, n}.
Рангом матрицы будем называть наибольший порядок минора, 0.
Из определения следует, что ранг невырожденной квадратной матрицы n -го порядка равен n, а ранг любой нулевой матрицы равен 0.
Базисными будем называть все миноры, отличные от нуля, порядок которых равен рангу матрицы.
Строки и столбцы матрицы ,входящие в базисный минор, будем называть базисными, а остальные ряды - свободными.
Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие операции:
- транспонирование;
- перестановки параллельных рядов (строк или столбцов);
- вычеркивание нулевого ряда;
- вычеркивание всех кроме одного одинаковых или пропорциональных
параллельных рядов;
- умножение любого ряда на число, не равное нулю;
- прибавление к любому ряду линейной комбинации параллельных рядов.
8.1. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.
8.2 Базисные строки (столбцы) всегда линейно независимы.
8.3. Если
ранг матрицы
равен
r,
то в
ней можно найти ровно r
линейно
независимых строк (либо столбцов), причем
.
8.4. Любой ряд матрицы можно представить в виде линейной комбинации параллельных базисных рядов.
8.5. Для того, чтобы определитель квадратной матрицы был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (либо столбцы) были линейно зависимы.
9. Системы линейных уравнений
Пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с n неизвестными:
9.1.
Введем следующие обозначения.
9.2.
-
матрица системы.
- ее расширенная
матрица.
-
столбец свободных членов.
- столбец неизвестных.
Если столбец свободных членов нулевой, то систему называют однородной.
Расширенная матрица 8.2. полностью задает систему 8.1.
Систему 8.1. можно задать также в виде матричного уравнения:
9.3.
.
9.3.1. Система 8.1. и матричное уравнение 8.3. эквивалентны.
9.3.2. Теорема Кронекера-Капелли
Для того, чтобы система 8.1. была разрешима, необходимо и
достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен
рангу матрицы системы.
9.3.3. Однородная система всегда разрешима.
9.3.4. Если
,
то система имеет единственное
решение.
9.3.5. Если
, то
система имеет бесчисленное
множество решений, при этом (n - k) неизвестных могут
принимать произвольные значения (их называют свободными
неизвестными), а остальные k неизвестных (называемых
базисными)можно представить в виде линейной комбинации
свободных неизвестных.
9.4.
-
система содержит n
линейных
уравнений
с n неизвестными.
Для этой системы дополнительно введем обозначения:
-
определитель системы
8.4.
- определитель,
полученный
из определителя 8.4. путем замены j -го столбца столбцом свободных членов.