Закон распределения дискретной случайной величины.

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями, т.е. совокупность пар чисел ()называетсязакономраспределенияданной случайной величины.

Закон распределения можно задавать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически. При табличном задании закона распределения первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, то события образуют полную группу, в связи с чем сумма вероятностей этих событий равна единице:

Пример. Пусть всхожесть семян данного растения определяется вероятностью 0,6. Найти закон распределенияX– числа появившихся растений из 5 посаженных семян.Решение: случайная величинаXможет принимать значения 0,1,2,…5. Задача описывается схемой испытаний Бернулли с. Таким образоми мы получим

	0	1	2	3	4	5
	0,01	0,077	0,230	0,345	0,259	0,0778

Функция распределения случайной величины и ее свойства.

Как уже отмечалось, дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей. Такой способ неприменим для непрерывных случайных величин, так как невозможно составить перечень всех возможных значений, заполняющих интервал (a,b). В связи с этим вводится понятие функции распределения вероятностей случайной величины, пригодное как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины.

Пусть x– действительное число. Вероятность события, состоящего в том, чтоXпримет значение, меньшееx, т.е. вероятность события, обозначим через. Разумеется, еслиxизменяется, то, вообще говоря, изменяется и, т.е.есть функцияx.

Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величинаXв результате испытания примет значение, меньшееx:

Геометрически это равенство можно истолковать так:есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левееx.

Рассмотрим по-отдельности случаи дискретной и непрерывной случайной величин.

1. Дискретная случайная величина. Рассмотрим функцию распределения дискретной случайной величины, принимающей значения.

• Если , то, так как в этом случае событиеявляется невозможным.

• Если , то событиенаступит тогда и только тогда, когда наступит событие, поэтому.

• Если , то событиеравно сумме событийии

.

• Аналогично, если , то .

Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где, и суммирование производится по тем, для которых.

Таким образом, в точках функция распределения испытывает скачки.

2. Непрерывная случайная величина. В отличие от случая дискретной случайной величины в данном случаепробегает все непрерывное множество значений, а сама функциявозрастает монотонно.

Если вероятность события равна, а вероятность событияравна, то вероятность того, что случайная величиназаключена междуиравна разности соответствующих значений функции распределения:.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Xпримет одно определенное значение, равна нулю. Имеет смысл рассматривать лишь вероятность попадания ее в некоторый интервал, пусть даже и сколь угодно малый.

График функции распределения для дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую разрывную функцию, а непрерывной –монотонно возрастающую непрерывную функцию.

Пример.Пусть среднедушевой доход в у.е. описывается функцией распределения

где . Какова вероятность того, что в случайно выбранной семье среднедушевой доход меньше 200 у.е.? Вероятность того, что среднедушевой доход лежит в пределах от 50 до 150 у.е.? Ответ: а), б) 0,534.