![](/user_photo/1296_uSZHT.jpg)
- •Пространство элементарных событий.
- •Совместные и несовместные события.
- •Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
- •Свойства операций над событиями.
- •Алгебра и сигма-алгебра событий.
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.
- •Геометрические вероятности.
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •Полная группа событий.
- •Условная вероятность.
- •Независимость событий.
- •Основные понятия комбинаторики.
- •Правила суммы и произведения.
- •Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
- •Для того чтобы найти вероятность появления события ровно раз в серииопытов, достаточно произвести перемножение сомножителей в производящей функции. Коэффициент при членеи даст искомую вероятность.
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Теорема Пуассона.
- •Понятие потока событий.
- •Локальная теорема Муавра –Лапласа.
- •Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.
- •Закон распределения дискретной случайной величины.
- •Свойства функции распределения
- •Свойства математического ожидания:
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Среднее квадратическое отклонение.
- •Распределение Пуассона.
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •Свойства функции Гаусса.
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •Где - функция Лапласа.
- •Функция Лапласа и ее свойства.
- •Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Независимые случайные величины
- •Для независимых случайных величин справедливы соотношения
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции Коэффициентом корреляции случайных величинX и y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Способы отбора На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида:
- •Выборочные среднее и дисперсия
- •Статистический критерий
- •A. Понятие о корреляционном анализе
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Однородные цепи Маркова
- •Понятие о системах массового обслуживания
Независимость событий.
Если при наступлении
события
вероятность события
не меняется, то события
и
называютсянезависимыми.
Теорема: Вероятность
совместного появления двух независимых
событий
и
(произведения
и
)
равна произведению вероятностей этих
событий.
Действительно,
так как событияи
независимы, то
.
В этом случае формула вероятности
произведения событий
и
принимает вид
.
События
называютсяпопарно независимыми,
если независимы любые два из них.
События
называютсянезависимыми в совокупности
(или просто независимыми), если
независимы каждые два из них и независимы
каждое событие и все возможные произведения
остальных.
Теорема: Вероятность
произведения конечного числа независимых
в совокупности событий
равна произведению вероятностей этих
событий.
.
Проиллюстрируем различие в применении формул вероятности произведения событий для зависимых и независимых событий на примерах
Пример 1. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,85, вторым 0,8. Орудия сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в цель попал хотя бы один снаряд ?
Решение: P(A+B) =P(A) +P(B) –P(AB) Так как выстрелы независимы, то
P(A+B) = P(A) +P(B) –P(A)*P(B) = 0.97
Пример 2. В урне находится 2 красных и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара красные.
Решение: 1 случай. Событие А – появление красного шара при первом вынимании, событие В – при втором. Событие С – появление двух красных шаров.
P(С) =P(A)*P(B/A) = (2/6)*(1/5) = 1/15
2 случай. Первый вынутый шар возвращается в корзину
P(С) =P(A)*P(B) = (2/6)*(2/6) = 1/9
Формула полной вероятности.
Пусть событие
может произойти только с одним из
несовместных событий
,
образующих полную группу. Например, в
магазин поступает одна и та же продукция
от трех предприятий и в разном количестве.
Вероятность выпуска некачественной
продукции на этих предприятиях различна.
Случайным образом отбирается одно из
изделий. Требуется определить вероятность
того, что это изделие некачественное
(событие
).
Здесь события
– это выбор изделия из продукции
соответствующего предприятия.
В этом случае
вероятность события
можно рассматривать как сумму произведений
событий
.
По теореме сложения
вероятностей несовместных событий
получаем
.
Используя теорему умножения вероятностей,
находим
.
Полученная формула называется формулой полной вероятности.
Формула Байеса
Пусть событие
происходит одновременно с одним из
несовместных событий
,
вероятности которых
(
)
известны до опыта (вероятности априори).
Производится опыт, в результате которого
зарегистрировано появление события
,
причем известно, что это событие имело
определенные условные вероятности
(
).
Требуется найти вероятности событий
если известно, что событие
произошло (вероятности апостериори).
Задача состоит в
том, что, имея новую информацию (событие
Aпроизошло), нужно
переоценить вероятности событий
.
На основании теоремы о вероятности произведения двух событий
,
откуда
или
.
Полученная формула носит название формулы Байеса.
Основные понятия комбинаторики.
При решении ряда теоретических и практических задач требуется из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций. Такие задачи принято называть комбинаторными.
При решении задач комбинаторики используют правила суммы и произведения.