- •Пространство элементарных событий.
- •Совместные и несовместные события.
- •Операции над событиями (сумма, разность, произведение).
- •Свойства операций над событиями.
- •Алгебра и сигма-алгебра событий.
- •Классическое определение вероятности события. Случаи равновероятных исходов.
- •Статистическое определение вероятности события. Случаи неравновероятных исходов.
- •Геометрические вероятности.
- •Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •Полная группа событий.
- •Условная вероятность.
- •Независимость событий.
- •Основные понятия комбинаторики.
- •Правила суммы и произведения.
- •Случай непостоянной вероятности появления события в опытах
- •Для того чтобы найти вероятность появления события ровно раз в серииопытов, достаточно произвести перемножение сомножителей в производящей функции. Коэффициент при членеи даст искомую вероятность.
- •Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Теорема Пуассона.
- •Понятие потока событий.
- •Локальная теорема Муавра –Лапласа.
- •Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.
- •Закон распределения дискретной случайной величины.
- •Свойства функции распределения
- •Свойства математического ожидания:
- •Дисперсия случайной величины и ее свойства.
- •Среднее квадратическое отклонение.
- •Распределение Пуассона.
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Равномерное распределение.
- •Показательное распределение.
- •Свойства функции Гаусса.
- •Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал.
- •Где - функция Лапласа.
- •Функция Лапласа и ее свойства.
- •Отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания. Правило «трех сигм».
- •Закон распределения вероятностей двумерной случайной величины
- •Свойства совместной функции распределения двух случайных величин
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Свойства двумерной плотности вероятности
- •Независимые случайные величины
- •Для независимых случайных величин справедливы соотношения
- •Корреляционный момент
- •Коэффициент корреляции Коэффициентом корреляции случайных величинX и y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
- •Свойства коэффициента корреляции
- •Способы отбора На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида:
- •Выборочные среднее и дисперсия
- •Статистический критерий
- •A. Понятие о корреляционном анализе
- •Линейная регрессия
- •Множественная линейная регрессия
- •Нелинейная регрессия
- •Однородные цепи Маркова
- •Понятие о системах массового обслуживания
Однородные цепи Маркова
Однороднойназывают цепь Маркова, для которой условная вероятностьперехода из состоянияв состояниене зависит от номера испытания. Для однородных цепей вместоиспользуют обозначение.
Примером однородной цепи Маркова могут служить случайные блуждания. Пусть на прямой Oxв точке с целочисленной координатойx=nнаходится материальная частица. В определенные моменты временичастица скачкообразно меняет свое положение (например, с вероятностьюpможет сместиться вправо и с вероятностью 1 –p– влево). Очевидно, координата частицы после скачка зависит от того, где находилась частица после непосредственно предшествующего скачка, и не зависит от того, как она двигалась в предшествующие моменты времени.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением конечных однородных цепей Маркова.
Переходные вероятности. Матрица перехода.
Переходной вероятностью называют условную вероятность того, что из состоянияв итоге следующего испытания система перейдет в состояние. Таким образом, индексотносится к предшествующему, а- к последующему состоянию.
Будем считать, что число испытаний конечно и равно k.
Матрицей переходасистемы называют матрицу, которая содержит все переходные вероятности этой системы:
, где представляют вероятности перехода за один шаг.
Отметим некоторые особенности матрицы перехода.
Элементы каждой строки матрицы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного состояния, в том числе и вероятность отсутствия перехода (элемент строки с равными индексами)
Элементы столбцов задают вероятности всех переходов системы за один шаг в заданное состояние
Так как в каждой строке матрицы помещены вероятности событий (т.е. вероятности перехода из состояния в любое возможное состояние), которые образуют полную группу, то сумма вероятностей этих событий равна единице:
По главной диагонали матрицы перехода стоят вероятности того, что система не выйдет из состояния, а останется в нем.
Равенство Маркова
Обозначим через вероятность того, что в результатеnшагов (испытаний) система перейдет из состоянияв состояние. Например,- вероятность перехода за 10 шагов из третьего состояния в шестое. Отметим, что приn= 1 эта вероятность сводится просто к переходной вероятности.
Возникает вопрос, как, зная переходные вероятности , найти вероятности перехода состоянияв состояниезаnшагов. С этой целью вводится в рассмотрение промежуточное (междуи) состояниеr. Другими словами, полагают, что из первоначального состояниязаmшагов система перейдет в промежуточное состояниеrс вероятностью, после чего за оставшиесяn–mшагов из промежуточного состоянияrона перейдет в конечное состояниес вероятностью. Используя формулу полной вероятности, можно показать, что справедлива формула
Эту формулу называют равенством Маркова.
Зная все переходные вероятности , т.е. зная матрицу переходаиз состояния в состояние за один шаг, можно найти вероятностиперехода из состояние в состояние за два шага, а значит, и саму матрицу перехода, далее – по известной матрице- найтии т.д.
Действительно, полагая в равенстве Маркова n= 2,m= 1 получим
или . В матричном виде это можно записать как.
Полагая n=3,m=2, получим. В общем случае справедливо соотношение.
Пример. Пусть матрица переходаравна
Требуется найти матрицу перехода.
Умножая матрицу саму на себя, получим.
Для практических применений чрезвычайно важным является вопрос о расчете вероятности нахождения системы в том или ином состоянии в конкретный момент времени. Решение этого вопроса требует знания начальных условий, т.е. вероятностей нахождения системы в определенных состояниях в начальный момент времени. Начальным распределением вероятностей марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса.
Здесь через обозначена вероятность нахождения системы в состояниив начальный момент времени. В частном случае, если начальное состояние системы в точности известно (например), то начальная вероятность, а все остальные равны нулю.
Если для однородной цепи Маркова заданы начальное распределение вероятностей и матрица перехода, то вероятности состояний системы на n-м шагевычисляются по рекуррентной формуле
.
Для иллюстрации приведем простой пример. Рассмотрим процесс функционирования некоторой системы (например, прибора). Пусть прибор в течение одних суток может находиться в одном из двух состояний – исправном () и неисправном (). В результате массовых наблюдений за работой прибора составлена следующая матрица перехода,
где - вероятность того, что прибор останется в исправном состоянии;
- вероятность перехода прибора из исправного в неисправное состояние;
- вероятность перехода прибора из неисправного в исправное состояние;
- вероятность того, что прибор останется в состоянии "неисправен".
Пусть вектор начальных вероятностей состояний прибора задан соотношением
, т.е. (в начальный момент прибор был неисправен). Требуется определить вероятности состояния прибора через трое суток.
Решение: Используя матрицу перехода, определим вероятности состояний после первого шага (после первых суток):
.
Вероятности состояний после второго шага (вторых суток) равны
Наконец, вероятности состояний после третьего шага (третьих суток) равны
.
Таким образом, вероятность того, что прибор будет находиться в исправном состоянии равна 0,819, и того, что в неисправном – соответственно 0,181.