Линейная регрессия

Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является распространенным (и простым) видом зависимости между экономическими переменными. Для простейшего случаяпарной линейнойрегрессии

или ,

где - теоретические параметры регрессии;- случайное отклонение.

По выборке ограниченного объема строится выборочноеуравнение регрессии(1)

где - оценки неизвестных параметров, называемыевыборочными коэффициентами регрессии,- оценка условного математического ожидания. Для величинсправедлива формула

(2),где - оценка теоретического отклонения.

Построенная прямая выборочной регрессии должна наилучшим образом описывать эмпирические данные, т.е. коэффициенты должны быть такими, чтобы случайные отклонениябыли минимальны. Наиболее распространенным методом нахождения коэффициентов уравнения регрессии являетсяметод наименьших квадратов (МНК).

Если по выборке требуется определить оценкивыборочного уравнения регрессии (2), то вводится в рассмотрение и минимизируетсяфункция

.

Необходимым условием существования минимума данной функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам :

.

Отсюда

,

и выразив из последних соотношений коэффициенты, получим

. (3)

где введены обозначения .

Пример.

Для анализа зависимости объема потребления Y(у.е.) хозяйства от располагаемого доходаX(у.е.) отобрана следующая выборка объема

	107	109	110	113	120	122	123	128	136	140	145	150
	102	105	108	110	115	117	119	125	132	130	141	144

Необходимо определить вид уравнения регрессии и по методу наименьших квадратов оценить параметры уравнения регрессии, а также спрогнозировать потребление при доходе X=160.

План решения. Строится корреляционное поле. По расположению точек на корреляционном поле предполагается, что зависимостьYотX– линейная. По МНК определяются коэффициенты. Таким образом, уравнение парной регрессии имеет вид:

Множественная линейная регрессия

На экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. Например, спрос на некое благо определяется не только ценой данного блага, но и ценами на замещающие и дополняющие блага, доходом потребителей и многими другими факторами. В этом случае рассматривается множественная регрессия .

Теоретическое линейноеуравнение регрессии имеет вид.

Для оценки параметров уравнения множественной линейной регрессии также, как правило, используется метод наименьших квадратов.

Нелинейная регрессия

Многие экономические зависимости не являются линейными. Например, при анализе эластичности спроса по цене применяется так называемая логарифмическая модель, при анализе издержек от объема выпуска – полиномиальная (кубическая) модель. Часто применяются и другие модели – например, обратная и экспоненциальная. Кратко рассмотрим некоторые из моделей нелинейной регрессии.

1. Логарифмическая модель.

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой

где A, b - параметры модели. Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X (в этом случае b < 0) или от дохода X (b>0 – функция Энгеля). Прологарифмировав обе части последнего соотношения, получим ; замена переменных позволяет свести уравнение к линейному виду

.

По МНК можно рассчитать значения параметров аналогично случаю линейной модели (при этом вместо рассматриваются).

2. Обратная модель.

Обратная модель имеет вид

.

Заменой эта модель сводится к линейной. Обратная модель применяется, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции.

3. Степенная модель.

Степенная функция вида

при m=3 (кубическая функция) в микроэкономике моделирует зависимость общих издержек от объема выпуска; квадратичная функция (m=2) отражает зависимость между объемом выпуска и средними или предельными издержками. Модель может быть сведена к линейной модели множественной регрессии с помощью замены . Параметры модели определяют с помощью МНК.

4. Показательная модель.

Показательная функция

может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прироста во времени. Примером может служить производственная функция Кобба – Дугласа с учетом научно – технического прогресса

,

где K – затраты капитала, L – затраты труда, g характеризует темпы роста объема производства.

Прологарифмировав, получаем соотношение

,

которое сводится к линейному виду с помощью замен .

В заключение отметим, что построение и проверка качества уравнения регрессии требуют применения методов корреляционного анализа, позволяющих производить отбор существенных для описания регрессионной зависимости факторов.

Лекция 17. Понятие о цепях Маркова и системах массового обслуживания

Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в частности: обслуживание покупателей в сфере розничной торговли, транспортное обслуживание, ремонт аппаратуры, машин и механизмов, находящихся в эксплуатации, обработка документов в системе управления и т.п. Главной особенностью процессов массового обслуживания является случайность (момент возникновения заявки на обслуживание и окончание обслуживания заявки часто непредсказуемы).

В теоретическом плане цепи Маркова рассматриваются как частный вид случайных процессов. Функцияназываетсяслучайной, если ее значение при любом аргументеtявляется случайной величиной. Если в качествеtвыступает время, то случайная функция описываетслучайный процесс.

Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из kнесовместных событийполной группы, причем условная вероятностьтого, что вs-м испытании наступит событие, при условии, что в (s-1) –м испытании наступило событие, не зависит от результатовпредшествующихиспытаний.

Например, если последовательность испытаний образует цепь Маркова и полная группа состоит из четырех несовместных событий , причем известно, что в шестом испытании появилось событие, то условная вероятность того, что в седьмом испытании наступит событие, не зависит от того, какие события появились в первом, втором, …пятом испытаниях.

Пусть некоторая система в каждый момент времени находится в одном из kсостояний. В отдельные моменты времени в результате испытания состояние системы изменяется, т.е. система переходит из одного состояния, напримерi, в другое, напримерj. После испытания система может остаться в том же состоянии (перейти из состоянияв состояние).

Для цепей Маркова часто используется следующая терминология: события называют состояниями системы, а испытания – изменениями ее состояний.

В связи с этим цепью Маркова можно назвать последовательность испытаний, в каждом из которых система принимает только одно из kсостояний полной группы, причем условная вероятностьтого, что вs-м испытании система будет находиться в состоянииj, при условии, что после (s-1) –м испытания она находилась в состоянииi, не зависит от результатов предшествующих испытаний.

Цепью Маркова с дискретным временемназывают цепь, изменение состояний которой происходит в определенныефиксированныемоменты времени.

Цепью Маркова с непрерывным временемназывают цепь, изменение состояний которой происходит в любыеслучайныевозможные моменты времени.