Статистический критерий

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно.

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину (K), которая служит для проверки нулевой гипотезы. Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерияKпринимают отношение исправленных выборочных дисперсий.

Очевидно, что эта величина случайная, т.к. в различных опытах исправленные дисперсии принимают различные, заранее неизвестные значения.

Наблюдаемым значением критерия K_набл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Например, если в вышеприведенном случае , тоK_набл= 20/5 = 4.

Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихсяподмножества, одно из которых содержит значения критерия, при которых нулевая гипотезаотвергается, а другое – при которых онапринимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезуотвергают.

Соответственно, областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезупринимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Так как критерий K– одномерная случайная величина, то все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу и, соответственно, должны существовать точки, разделяющие критическую область и область принятия гипотезы. Такие точки называютсякритическими точками.

Различают одностороннюю(правостороннююилевостороннюю) идвустороннююкритические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством, где- положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую неравенством, где- отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами , где . В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами или равносильным неравенством . Различия между вариантами критических областей иллюстрирует следующий рисунок.

Рис. 1. Различные варианты критических областей a) правосторонняя,b) левосторонняя, с) двусторонняя

Мы подошли к вопросу об этапах проверки статистических гипотез.

Выделим следующие этапы:

• Формулируется нулевая гипотеза

• Определяется критерий K, по значениям которого можно будет принять или отвергнутьи выбирается уровень значимости

• По уровню значимости определяется критическая область

• По выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия K, определяется, принадлежит ли оно критической области и на основании этого принимается гипотезаили альтернативная гипотеза.

Критерий согласия Пирсона о виде распределения.

Если закон распределения неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид , то проверяют нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону. Проверка этой гипотезы производится при помощи специально подобранной случайной величины –критерия согласия.

Таким образом, критерием согласияназывают критерий проверки гипотезы опредполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия, причем наиболее часто используемым является критерий согласия К. Пирсона ("хи квадрат").

Пусть по выборке объема получено эмпирическое распределение

Варианты……………………
Эмпирические частоты…….

Для определенности рассмотрим сначала случай проверки статистической гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности вычислены теоретические частоты . При уровне значимоститребуется проверить нулевую гипотезу: генеральная совокупность распределе-на нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

(А)

Естественно, чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия, и, следовательно, он характеризует близостьэмпирического и теоретического распределений.

Доказано, что при n®¥закон распределения случайной величины (А) стремится к закону распределениясстепенями свободы независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность. Поэтому сам критерий называюткритерием согласия.

Число степеней свободы определяется из равенства , гдеs– число групп (частичных интервалов) выборки,– число параметров предполагаемого распределения. В частности, если предполагаемое распределение – нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому число степеней свободы.

Построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости :.

Таким образом, правосторонняя критическая область определяется неравенством , а область принятия нулевой гипотезы – соответственно неравенством. Обозначим значение критерия, вычисленного по данным наблюдений, черези сформулируем правило проверки нулевой гипотезы:

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀ : генеральная совокупность распределена нормально, необходимо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерияи по таблице критических точек распределения, по заданному уровню значимостиaи числу степеней свободыk=n– 3 найти критическую точку. Если- нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают, считая, что генеральная совокупность не распределена по нормальному закону.

Отметим два обстоятельства.

• Объем выборки должен быть достаточно велик(не менее 50). Каждая группа должна содержать не менее 5-8 вариант, а малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя частоты.

• Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, следует проявлять осторожность. Например, можно повторить опыт, увеличить число наблюдений, построить предварительно график распределения и т.п.

Применение критерия согласия Пирсона не ограничивается случаем нормального распределения. Приведем примеры использования критерия Пирсона.

Пример1. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о распределении по закону Пуассона генеральной совокупности, если по данным выборки объемаполучен следующий вариационный ряд:

Варианты	0	1	2	3	4	5	6	7
Частоты	8	17	16	10	6	2	0	1

Решение:Для расчета теоретических частот используем формулу Пуассона

Для оценки параметра используем соотношение

Вычислим

.

Значение равно.

Вычислим число степеней свободы . По таблице критических точек распределения хи-квадрат приинаходим. Так как наблюдаемое значение меньше критического, то наблюдаемые значения согласуются с распределением Пуассона и нулевая гипотеза принимается.

Пример 2. При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты

Эмпирические частоты	6	13	38	74	106	85	30	14
Теоретические частоты	3	14	42	82	99	76	37	13

Рассчитаем = 7,19, число степеней свободы определим по соотношениюk=s–3 = 5 (в нашем случаеs= 8). Используя рассчитанные значенияиk, по таблице критических точек распределения хи-квадрат при уровне значимостинаходим. Так как, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Данные наблюдений согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Лекция 16. Понятие о корреляционно-регрессионном анализе

Две или несколько случайных величин могут быть связаны либо функциональной, либо статистической (стохастической) зависимостью.

В экономике строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как экономические показатели подвержены действию случайных, часто неконтролируемых факторов. Чаще имеет место так называемая статистическаязависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменениераспределениядругой. В частности, при изменении одной из величин может изменятьсясреднее значение другой.

Примерстатистической зависимости: урожай зернаYзависит от количества внесенных удобренийX. С одинаковых по площади участков при равных количествах внесенных удобрений снимают разные урожаи. Это связано с влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и др.). Вместе с тем, средний урожай зависит от количества удобрений, т.е.Yсвязано сXстатистической зависимостью.

При изучении статистических зависимостей различают корреляциюирегрессию. Основным методом исследования статистических зависимостей выступаеткорреляционно–регрессионныйанализ.

Корреляционный анализсостоит в определениистепени связимежду случайными величинами.

Регрессионный анализустанавливаетформы зависимостимежду случайной величинойY(зависимой переменной) и значениями одной или нескольких переменных величинX(независимыми переменными).