Локальная теорема Муавра –Лапласа.

Лапласом была получена важная приближенная формула для вероятности появления событияточнораз, при условии, чтодостаточно велико. В отличие от формулы Пуассона здесь нет ограничения на малость величиныв отдельном испытании, т.е. область применимости формулы Лапласа шире.

Теорема. Вероятность того, что в условиях схемы Бернулли событиеприиспытаниях появится точнораз, выражается приближенной формулой Лапласа

где .

Формулу Лапласа иногда называют асимптотической формулой, поскольку доказано, что относительная ошибка формулы Лапласа стремится к нулю при .

Интегральная (глобальная) теорема Муавра – Лапласа.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа содержит приближенную формулу для вероятности того, что событиепоявится не менеераз и не болеераз.

Теорема. Вероятность того, что событиепоявится виспытаниях отдораз, приближенно равна определенному интегралу

,

где ;

.

Доказательство. На основании теоремы сложения вероятностей несовместных событий

.

Или, используя локальную теорему Лапласа,

,

Введем обозначение ,

И запишем в виде.

Очевидно, при величинаи последняя сумма стремится к определенному интегралу:

,

что и требовалось доказать.

Введем стандартный интеграл Лапласа (функцию Лапласа):

,

который, очевидно, является первообразной функции Гаусса

.

Тогда на основании формулы Ньютона – Лейбница можно записать

.

Значения функций иобычно находятся из таблиц, причем таблицы обычно даны лишь для неотрицательных значений, поскольку­– четная функция, а– нечетная.

Лекция 6. Случайная величина и ее функция распределения. Свойства функции распределения.

Одним из важнейших понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Случайнойназывают величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных – случайная величина, имеющая следующие возможные значения: 0, 1,… 100.

Пример 2. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, является случайной величиной, которая зависит не только от установки прицела, но и от силы и направления ветра, температуры, влажности и т.д. Возможные значения этой случайной величины принадлежат некоторому промежутку (a,b).

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой (), ее конкретные значения – строчными буквами ().

Более строгое формально-математическое определение случайной величины: случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий,.

Случайные величины делятся на дискретныеинепрерывные.

Дискретной(прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетное множество значений).

Непрерывнойназывают случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.