Аксиоматическое построение теории вероятностей.

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н. Колмогоровым, элементарное событие и вероятность являются неопределяемыми понятиями. Приведем аксиомы системы Колмогорова

1. Каждому событию Aпоставлено в соответствие неотрицательное действительное числоP(A). Это число называется вероятностью событияA;

2. Вероятность достоверного события равна единице

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий;

(конечное пространство элементарных событий)

(бесконечное пространство элементарных событий)

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.

Вероятностное пространство

Будем говорить, что задано вероятностное пространство, если задано пространство элементарных исходов, сигма алгебраи для каждого элементарного события задана его вероятность.

Иначе говоря, Вероятностным пространствомназывается тройка (, где- вероятностная мера на.

Лекция 4. Полная группа событий. Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Формула сложения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Основные понятия комбинаторики.

Полная группа событий.

Множество попарно несовместных событий называют полной группой событий, если при любом исходе случайного эксперимента непременно наступает одно из событий, входящих в это множество. Другими словами, для полной группы событийвыполнены следующие условия:

• появление одного из событий данного множества в результате испытания является достоверным событием, т.е. событие ;

• события и() попарно несовместны и– событие невозможное при любых, т.е..

Простейшим примером полной группы событий является пара противоположных событий и.

Теорема. Сумма вероятностей событий полной группы равна единице:

.

Условная вероятность.

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события , вычисленная при условии, что событиеуже наступило, называетсяусловной вероятностьюсобытияи обозначается.

В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что имели место два других событияи, используется условная вероятность относительно произведения событийи:.

Формула умножения вероятностей.

Теорема:Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

.

Теорему умножения вероятностей легко обобщить на любое конечное число событий.

Теорема:Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий:

.

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

Формула сложения вероятностей.

Теорема:Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство: Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событийи.

Пусть событию благоприятствуютэлементарных исходов, а событию– соответственноисходов. Так как событияипо условию теоремы несовместны, то событию+благоприятствуют+элементарных исходов из общего числаисходов. Следовательно,

,

где – вероятность события;

– вероятность события.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Доказательство: Событиенаступит, если наступит одно из несовместных событий,,. По теореме сложения вероятностей несовместных событий

Событие произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий:,. Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем:. Следовательно,.

Аналогично для события получаем. Откуда.

Следовательно .